Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

alsoodersomit |(x,y)| 2 ≤ (x,x)(y,y) . Dies ist (i).(ii) Aus (i) folgt|(x,z)| 2 ≤ (x,x),1(y,y) |(x,z)|2 ≤ (x,x),(x + y , x + y) = (x,x) + (x,y) + (y,x) + (y,y)≤(x,x) + 2(x,x) 1/2 (y,y) 1/2 + (y,y)= [ (x,x) 1/2 + (y,y) 1/2] 2.(iii) (x + y , x + y) + (x − y , x − y)= (x,x) + 2 Re (x,y) + (y,y) + (x,x) − 2 Re (x,y) + (y,y)= 2 ( (x,x) + (y,y) ) .2.1.2 Prähilbertraum Auf dem Vektorraum V sei ein Skalarprodukt (·, ·) :V × V → K erklärt. Dann wird durch‖x‖ := (x,x) 1/2eine Norm auf V erklärt. Denn aus 2.1 (ii), (iv) und 2.2 (ii) folgt(i) ‖x‖ ≥ 0, ‖x‖ = 0 ⇐⇒ x = 0(ii)‖λx‖ = |λ| ‖x‖(iii) ‖x + y‖ = (x + y , x + y) 1/2 ≤ (x,x) 1/2 + (y,y) 1/2 = ‖x‖ + ‖y‖.Mit dieser Norm wird V zum normierten Raum. Dieser normierte Raum zusammen mitdem Skalarprodukt heißt Prähilbertraum.2.1.3 { } Konvergenz, Cauchyfolgen, Vollständigkeit, Sei V ein normierter Raum,∞xn ⊆ V eine Folge, x n=1 0 ∈ V . Dann heißt die Folge { } ∞x n konvergent gegen x n=1 0 ,wennlim ‖x n − x 0 ‖ = 0.n→∞{ } ∞xn heißt Cauchyfolge, wenn zu jedem ε > 0 ein n n=1 0 ∈ N existiert mit‖x n − x m ‖ < εfür alle n,m ≥ n 0 .Jede konvergente Folge ist eine Cauchyfolge. Ein Raum, in dem jede Cauchyfolgekonvergiert, heißt vollständig. Ein vollständiger normierter Raum heißt Banachraum.Ein vollständiger Prähilbertraum heißt Hilbertraum.14