Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

Wäre nun y ≠ z , dann folgtef(z) > f(y) + ∇f(y)(z − y)> f(z) + ∇f(z)(y − z) + ∇f(y)(z − y)= f(z) + ∇f(y) [ (y − z) + (z − y) ] = f(z).Also muß y = z sein, also ist x ↦→ ∇f(x) injektiv.Nun zeige ich, daß diese Abbildung surjektiv ist falls lim |x|↦→∞f(x)|x|= ∞ gilt. Sei y ∈ R n .Nach Voraussetzung gibt es dann ein C > 0 mitf(x)|x|≥ |y| + 1≥ ∣ x∣y · ∣ + 1|x|f(x)für alle |x| ≥ C , wegen lim |x|→∞ = ∞. Also gilt|x|[ ] (xlim y · x − f(x) = lim y ·|x|→∞|x|→∞ |x| − f(x) )· |x||x|≤ (−|x|) = −∞.lim|x|→∞Wegen der Stetigkeit von x ↦→ y · x − f(x) gibt es also ein z ∈ R n mitDa f ∈ C 1 (R n , R) ist, folgty · z − f(z) = maxx∈R n (y · x − f(x)).0 = ∇ x(y · x − f(x))| x=z= y − ∇f(z),also ∇f(z) = y . Somit ist x ↦→ ∇f(x) surjektiv, und folglich bijektiv. Sei g die Inversedieser Abbildung. Dann gilt mit (iii)(f ∗ (y) = f ∗ ∇f ( g(y) ))= ∇f ( g(y) ) · g(y) − f ( g(y) )= y · g(y) − f ( g(y) ) .Es bleibt zu zeigen, daß g(y) = ∇f ∗ (y) ist. Nach (i) und (iv) ist f ∗ ∈ C 1 (R n ) undkonvex, und nach (ii) und (iii) gilt für alle y ∈ R nf ( ∇f ∗ (y) ) = (f ∗ ) ∗( ∇f ∗ (y) )= ∇f ∗ (y) · y − f ∗ (y)= ∇f ∗ (y) · y − g(y) · y + f ( g(y) )Da g die Inverse von x ↦→ ∇f(x) ist, gilt y = ∇f ( g(y) ) , und somit folgt aus dieserGleichungf ( ∇f ∗ (y) ) = f ( g(y) ) + ∇f ( g(y) ) · [∇f ∗ (y) − g(y) ] .Oben wurde gezeigt, daß wegen der strikten Konvexität von f diese Gleichung nur geltenkann wenn ∇f ∗ (y) = g(y) gilt. Damit ist Lemma 4.4 bewiesen.61