der <strong>Variationsrechnung</strong> <strong>und</strong> für die moderne Theorie der partiellen Differentialgleichungeneine zentrale Rolle spielt. Wie im Titel meiner Vorlesung angekündigt, möchte ichdaher in den beiden anschließenden Kapiteln eine recht ausführliche Einführung in dieTheorie der L p – <strong>und</strong> Sobolevräume geben. Daraufhin will ich die klassischen Methodender <strong>Variationsrechnung</strong> behandeln, mich dabei aber kurz fassen. Behandeln möchteich dabei aber den Formalismus von Hamilton-Jacobi. Für die direkten Methoden der<strong>Variationsrechnung</strong> braucht man Kompaktheitskriterien. Eine große Rolle spielt dabeidie Kompaktheit der Einheitskugel des Dualraumes eines Banachraumes bezüglich derschwachen Topologie. Zur Vorbereitung auf die direkten Methoden werde ich daher imsechsten Kapitel die schwache Topologie <strong>und</strong> im siebten konvexe Funktionale auf Hilberträumenbehandeln. Die Ergebnisse dieser beiden Kapitel werde ich im achten Kapitelbei der Behandlung der direkten Methoden der <strong>Variationsrechnung</strong> anwenden.12
2 Lebesgue- <strong>und</strong> Sobolevräume2.1 Der Banachraum L p , Vollständigkeit2.1.1 Skalarprodukt Sei V ein Vektorraum über K = R oder C . Eine Abbildung(·, ·) : V × V → K heißt Skalarprodukt, falls gilt:(i)(ii)Für alle x,y ∈ V : (x,y) = (y,x)Für alle λ ∈ K , x,y ∈ V : (λx,y) = λ(x,y)(iii) Für alle x 1 ,x 2 ,y ∈ V : (x 1 + x 2 ,y) = (x 1 ,y) + (x 2 ,y) .(iv) (x,x) ≥ 0 , (x,x) = 0 ⇐⇒ x = 0.Aus (i) <strong>und</strong> (ii) zusammen folgt<strong>und</strong> aus (i) <strong>und</strong> (iii) folgt(x,λy) = (λy,x) = λ(y,x) = λ (y,x) = λ(x,y)(x,y 1 + y 2 ) = (y 1 + y 2 ,x) = (y 1 ,x) + (y 2 ,x) = (y 1 ,x) + (y 2 ,x)= (x,y 1 ) + (x,y 2 ),also ist das Skalarprodukt linear im ersten <strong>und</strong> antilinear im zweiten Argument.Lemma 2.1 Sei (·, ·) ein Skalarprodukt auf einem Vektorraum V . Dann gilt für allex,y ∈ V(i) |(x,y)| ≤ (x,x) 1/2 (y,y) 1/2 (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung)(ii) (x + y , x + y) 1/2 ≤ (x,x) 1/2 + (y,y) 1/2 (Dreiecksungleichung)(iii) (x + y , x + y) + (x − y , x − y) = 2 ( (x,x) + (y,y) )(Parallelogrammgleichung)Beweis: (i) Sei (x,x) + (y,y) > 0 . O.b.d.A. nehmen wir an, daß (y,y) > 0 ist. Setzez =y . Dann folgt(y,y) 1/20 ≤ ( x − (x,z)z , x − (x,z)z ) = (x,x) − ( (x,z)z,x )− ( x, (x,z)z ) + ( (x,z)z , (x,z)z )= (x,x) − (x,z)(x,z) − (x,z)(x,z) + (x,z)(x,z)(z,z)(= (x,x) − 2|(x,z)| 2 + |(x,z)| 2 y(y,y) , y)1/2 (y,y) 1/2= (x,x) − |(x,z)| 2 ,13
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Wegen f ξξ (x,u,g(x,u,v)) > 0 fol
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also0 = d dt J(w + tϕ) | t=0∫ b
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In kanonischer Form lauten die Eule
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Man kann diese Gleichungen folgende
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4.4.5 Der Fall f(x,u,ξ) = f(u,ξ)
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Hiermit folgtd[ ( ) ]S γ x,u(x),γ
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für alle (x,u) ∈ U . Ich werde z
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(x,u(x,α)) sind die von dieser Lin
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Zum Beweis des Satzes genügt es al
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Satz 5.9 (Trennungssatz) Sei H ein
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gelte lim n→∞ f(x n ) = f(x) f
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eine stetige, (komplex) lineare Abb
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Beweis: Sei {x n } ∞ n=1 ⊆ B 1
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6 Konvexe Funktionale6.1 Unterhalbs
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Lemma 6.6 Sei H ein Hilbertraum, se
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also istt(x,λ) + (1 − t)(y,µ) =
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) Sei H ein reeller Hilbertraum, se
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für alle x ∈ H . Dann nimmt f +g
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7 Direkte Methoden der Variationsre
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Beweis: Seien v 1 ,v 2 ∈ M(F,b) u
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für alle u ∈ M . Für alle ander
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folglichund somit∫ x1y 1|y 1|u(z)
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dem Satz von Beppo Levi1(w,v − u)
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weil man dann in (∗) v = u±ϕ se
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für alle ξ ∈ R n . Dann gilt∂
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8 Existenztheorie für das Hinderni
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für fast alle x ∈ ∂Ω. Wegen j
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=+≤=∫1 [lim |t∇v − (1 − t
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.) u ∈ M und∫ []1Ω 2 |∇u(x)|
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[19] A. Sommerfeld: Partielle Diffe
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