Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

für x ∈ [a,b] und mit v(a) = S u(a,u(a),γ). Dann existiert eine Konstante c mitS γ(x,u(x),γ)= cS u(x,u(x),γ)= v(x)für alle x ∈ [a,b]. Entlang des Graphen von u ist also S γ konstant.Sei umgekehrt S γu (x,u,γ) ≠ 0 für alle (x,u,γ) ∈ [a,b] × R × Γ. Sei γ ∈ Γ, sei c ∈ Rund sei u ∈ C 2 ([a,b]) mitS γ(x,u(x),γ)= cfür alle x ∈ [a,b]. SetzeDann ist (u,v) eine Lösung von (H).v(x) = S u(x,u(x),γ).Beweis: Sei (u,v) eine Lösung von (H). Dann giltddx S ( )u x,u(x),γ = Sux + u ′ S uu= S ux + H v(x,u(x),v(x))Suu .Es giltS ux(x,u(x),γ)= Sxu(x,u(x),γ)= ∂∂u S x(x,u,γ)| u=u(x)= − ∂ (∂u H ( ) )x,u(x),S u x,u(x),γ( ( ) )= − H u x,u(x),S u x,u(x),γ− H v(x,u(x),S u(x,u(x),γ) ) S uu .Kombination mit der vorangehenden Gleichung ergibtddx S ( ) ( )u x,u(x),γ = − Hu(x,u(x),S )u x,u(x),γ( ) ( ( )+[H )] v x,u(x),v(x) − Hv x,u(x),S u x,u(x),γ S uu .Dies kann man auffassen als Differentialgleichung erster Ordnung für die Funktionw(x) = S u (x,u(x),γ). S u (x,u(x),γ) erfüllt diese Differentialgleichung und die AnfangsbedingungS u (a,u(a),γ) = v(a). Wegen (H) ist auch v(x) eine Lösung dieses Anfangswertproblems.Die Lösung ist aber eindeutig, also folgtv(x) = S u(x,u(x),γ).72