Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

die Parametrisierung einer geschlossenen Kurve. Man stelle sich unter dieser Kurve einenDrahtbügel vor. Taucht man diesen Drahtbügel in Seifenwasser, dann spannt sich eineSeifenhaut zwischen diesem Drahtbügel aus, die unter allen möglichen Flächen mit demselbenRand den kleinsten Flächeninhalt hat. Ich nehme an, daß diese Fläche als Grapheiner Funktion u : Ω → R beschrieben werden kann. Es gilt dann u| = u 0 . Der∂ΩFlächeninhalt dieser Fläche ist∫√I(u) = 1 + |∇u(x)|2 dx.ΩSei D = {v ∈ C 1 (Ω, R) : v| = u 0 } . In diesem Variationsproblem ist also u ∈ D gesucht∂Ωmit∫√I(u) = 1 + |∇u(x)|2 dx = min I(v).v∈DΩ1.2.7 Parametrisierte Minimalflächen Nicht jede Fläche kann als Graph einerFunktion dargestellt werden, und deswegen muß man im allgemeinen Fall mit Minimalflächen,die Mannigfaltigkeiten sind, arbeiten. Ich nehme der Einfachheit halber an,daß Σ eine Minimalfäche sei, die durch eine einzige Karte u : Ω → Σ ⊆ R 3 parametrisiertwerden kann, wobei Ω ⊆ R 2 eine offene Menge sei. Sei alsoΣ = {u(x,y) ∈ R 3 : (x,y) ∈ Ω}.Hierbei habe ich Σ mit der Bildmenge von u identifiziert. Der Flächeninhalt von Σ ist∫I(u) = |u x (x,y) × u y (x,y)|d(x,y),Ωwobei u x × u y das Vektorprodukt der Tangentialvektoren u x = ∂∂x u und u y = ∂∂y u sei.Sei u 0 : ∂Ω → R 3 eine Parametrisierung der Randkurve von Σ , und seiD = {v ∈ C 1 (Ω, R 3 ) : v| ∂Ω= u 0 }.In diesem Variationsproblem ist u ∈ D gesucht, so daß∫I(u) = |u x × u y |d(x,y) = min I(v)v∈DΩ1.2.8 Isoperimetrische Ungleichung In der isoperimetrischen Ungleichung für ebeneGebiete wird die Länge der Randkurve des Gebietes mit dem Flächeninhalt des Gebietesverglichen. Genau lautet das Problem folgendermaßen: Sei Ω ⊆ R 2 eine offenebeschränkte Menge, deren Rand ∂Ω eine einfach geschlossene, ”hinreichend reguläre”Kurve ist. Wenn L(∂Ω) die Länge der Randkurve und meas (Ω) das Lebesguemaß vonΩ ist, dann gilt nach der Isoperimetrischen Ungleichung(L(∂Ω)) 2≥ 4π meas (Ω),8