Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

5.2 Schwache Topologie, schwache Konvergenz, schwache FolgenkompaktheitSei V ein normierter Raum und V ′ der Dualraum, d.h. der Raum aller stetigen linearenAbbildungen f : V → K .Für f ∈ V ′ seiU f = {x ∈ V ∣ ∣ |f(x)| < 1} .Die schwache Topologie auf V wird folgendermaßen erklärt. Eine Menge U ⊆ V ist nachDefinition eine Umgebung von 0 (Nullumgebung), genau dann, wenn es endlich vielestetige lineare Abbildungen f 1 ,...,f n ∈ V ′ gibt mitn⋂U fi ⊆ U .i=1Für beliebiges x ∈ V ist W ⊆ V eine Umgebung von x , genau dann, wenn es eineNullumgebung U gibt mitW = x + U = {x + y | y ∈ U} .Das so definierte System von Umgebungen erfüllt die Axiome, die von einem Systemvon Umgebungen verlangt werden, und definiert damit eine Topologie auf V . Die sodefinierte Topologie auf V hat außerdem noch folgende Eigenschaft: Versieht man V mitder schwachen Topologie, und versieht man K mit der üblichen Topologie, dann sind dieVektorraumaddition und Multiplikation(x,y) → x + y : V × V → V(λ,x) → λx : K × V → Vstetige Abbildungen. Also ist die schwache Topologie auf V eine Vektorraumtopologieauf V , und V ist ein topologischer Vektorraum mit der schwachen Topologie.Die schwache Topologie auf V ist die gröbste Vektorraumtopologie auf V , in der nochalle f ∈ V ′ stetig sind. Umgekehrt ist jede lineare Abbildung g : V → K , die in derschwachen Topologie stetig ist, auch in der Normtopologie stetig, weil die Normtopologiefeiner ist als die schwache Topologie, also stimmt der Dualraum V ′ zu V mit derNormtopologie überein mit dem Dualraum zu V mit der schwachen Topologie.Nach dem Satz von Hahn-Banach gibt es zu jedem x ∈ V mit x ≠ 0 ein f ∈ V ′ mit|f(x)| > 1 , also ist x ∉ U f , folglich ist die schwache Topologie eine separierte Topologie,d.h. Grenzwerte sind eindeutig.Satz 5.11 Sei V ein normierter Raum. Eine Folge {x n } ∞ n=1 ⊆ V konvergiert schwachgegen x ∈ V (d.h. in der schwachen Topologie von V ), genau dann, wenn für alle f ∈ V ′giltlimn→∞ f(x n) = f(x) .Beweis. Wenn {x n } ∞ n=1 schwach gegen x ∈ V konvergiert, giltlim n→∞ f(x n ) = f(x) , da jedes f ∈ V ′ stetig ist in der schwachen Toplogie. Umgekehrt82