Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

für alle n ≥ n 0 . Nach Satz 5.18 ist B r (0) schwach folgenkompakt, also gibt es x 0 ∈ B r (0)und eine Teilfolge {x nk } ∞ k=1 mit x nk ⇀ x 0 .Da f konvex und von unten halbstetig ist, ist f nach Satz 6.3 auch schwach von untenhalbstetig, also giltund somitf(x 0 ) ≤lim infk→∞f(x n k) = limk→∞f(x nk )= limn→∞f(x n ) = infx∈H f(x),f(x 0 ) = minx∈H f(x).Um zu zeigen, daß das Minimum eindeutig ist, soll angenommen werden, daß x 0 ,x ′ 0 ∈ Hexistierten mit x 0 ≠ x ′ 0 und mitDann folgte für alle t ∈ (0, 1)f(x 0 ) = f(x ′ 0) = minx∈H f(x).f ( tx 0 + (1 − t)x ′ 0)< tf(x0 ) + (1 − t)f(x ′ 0) = minx∈H f(x).Dies ist ein Widerspruch, also kann das Minimum nur in einem Punkt angenommenwerden.Lemma 6.8 (Beschränktheit konvexer, unterhalbstetiger Funktionale) Sei f :H → (−∞, ∞] eine konvexe, von unten halbstetige Funktion. Dann existiert ein reelllineares, stetiges Funktional g : H → R und eine Konstante c 0 ∈ R mitfür alle x ∈ H .f(x) > g(x) + c 0Beweis: Falls f ≡ ∞ ist, ist die Behauptung klar. Also genügt es den Fall zu betrachten,wo ein x 0 ∈ H existiert mit f(x 0 ) < ∞. Beachte zunächst, daß der Raum H × K einHilbertraum ist mit dem Skalarprodukt((x,λ), (y,µ))H×K = (x,y) H + λµund der NormSei nun‖(x,λ)‖ H×K =√‖x‖ 2 H + |λ|2 .K(f) = { (x,λ) ∈ H × R ∣ ∣ f(x) ≤ λ } ⊆ H × K.Dies ist eine konvexe, abgeschlossene, nichtleere Menge. Denn seien (x,λ) und (y,µ) ∈K(f). Dann folgt für 0 < t < 1f ( tx + (1 − t)y ) ≤tf(x) + (1 − t)f(y)≤ tλ + (1 − t)µ ,92