Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

6 Konvexe Funktionale6.1 Unterhalbstetige Funktionen In diesem Abschnitt sei H ein Hilbertraum.Definition 6.1 Sei M ⊆ H,M ≠ ∅ und sei f : M → (−∞, ∞] . f heißt von untenhalbstetig im Punkt x ∈ M , wenn für jede Folge {x n } ∞ n=1 ⊆ M mit x n → x giltf(x) ≤ lim infn→∞f(x n).f heißt schwach von unten halbstetig im Punkt x ∈ M , wenn für jede Folge {x n } ∞ n=1 ⊆ Mmit x n ⇀ x giltf(x) ≤ lim inf f(x n).n→∞f heißt (schwach) von unten halbstetig, wenn f in jedem Punkt von M (schwach) vonunten halbstetig ist.Lemma 6.2 (i) Seien f 1 ,f 2 : M → R konvex. Dann ist f 1 + f 2 konvex. Ist f 1 striktkonvex und f 2 konvex, dann ist f 1 + f 2 strikt konvex.(ii) Eine reell linear Abbildung H → R ist konvex.Beweis: klar.Satz 6.3 (Äquivalenz von Unterhalbstetigkeit und schwacher Unterhalbstetigkeitbei konvexen Funktionalen) Sei M ⊆ H eine konvexe Menge und seif : M → (−∞, ∞] konvex. Dann gilt: f ist schwach von unten halbstetig genau dannwenn f von unten halbstetig ist.Beweis: Wenn f schwach von unten halbstetig ist, ist f auch von unten halbstetig.Denn aus x n → x folgt x n ⇀ x und somitf(x) ≤ lim infn→∞f(x n).Um die Umkehrung zu beweisen beachte man, daß f schwach von unten halbstetig istfalls die Menge{x ∈ M ∣ ∣ f(x) ≤ ε}für jedes ε ∈ R schwach abgeschlossen ist in der auf M durch die schwache Topologieinduzierten Topologie. Denn sei {x n } ∞ n=1 ⊆ M mit x n ⇀ x 0 ∈ M und sei {x nk } ∞ k=1 eineTeilfolge mitf(x nk ) → lim infn→∞ f(x n) = a .Für jedes δ > 0 gibt es dann ein m mitf(x nk ) ≤ a + δalsox nk ∈ {x ∈ M ∣ ∣ f(x) ≤ a + δ}89