Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

tṼ (u) + (1 − t)Ṽ (v), weil dann die rechte Seite den Wert +∞ hat. Also ist Ṽ konvex.Sei nun V 1 : H 1 (Ω) → (−∞, ∞] definiert durch{ ∫V 1 (u) =j( u(x) ) dS∂Ω x , u ∈ M ∗+∞, u ∈ H 1 (Ω)\M ∗ .Außerdem setzen wir V = Ṽ|H 1 (Ω) . Dann giltV (v) = 1 2 |v|2 1,Ω + V 1 (v)für alle v ∈ H 1 (Ω). Wir zeigen nun, daß V 1 von unten halbstetig ist. Da v ↦→ 1 2 |v|2 1,Ω :H 1 (Ω) → R stetig ist, folgt dann, daß auch V : H 1 (Ω) → (−∞, ∞] von unten halbstetigist.Sei {u m } ∞ m=1 ⊆ H 1 (Ω) und u ∈ H 1 (Ω) mit ‖u − u m ‖ 1,Ω → 0 für m → ∞.Zu zeigen ist, daßV 1 (u) ≤ lim infm→∞ V 1(u m )gilt. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit seilim infm→∞ V 1(u m ) < ∞,weil sonst nichts zu beweisen ist. Wähle eine Teilfolge {u ′ m} ∞ m=1 von {u m } ∞ m=1 mitlim V 1(u ′ m) = lim inf V 1(u m ).m→∞ m→∞Es folgt, daß V 1 (u ′ m) < ∞ ist für alle genügend großen m , also ist u ′ m ∈ M ∗ ⊆ M füralle genügend großen m . Da M abgeschlossen ist in H 1 (Ω) und da {u ′ m} ∞ m=1 in H 1 (Ω)gegen u konvergiert, ergibt sich u ∈ M .Nach Satz ?? ist die Abbildung u ↦→ u |∂Ω : H 1 (Ω) → L 2 (∂Ω) stetig, also gilt∫|Bu(x) − Bu ′ m(x)| 2 dS x = ‖u |∂Ω − u ′ m|∂Ω‖ 2 ∂Ω → 0∂Ωfür m → ∞. Also gibt es nach einem Satz aus der Lebesgueschen Integrationstheorieund nach Definition des Randintegrals in 7.3 eine Teilfolge {u ′′ m} ∞ m=1 von {u ′ m} ∞ m=1 mitlimm→∞ [Bu′′ m](x) = [Bu](x)für fast alle x ∈ ∂Ω. Nach Vorasussetzung ist j stetig differenzierbar. Also folgtlim j( Bu ′′ m(x) ) = j ( Bu(x) )m→∞114