Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

für alle ξ ∈ R n . Dann gilt∂Ṽ (u) = {{Au}∅, u ∈ D(A)., u ∈ L 2 (Ω)\D(A).Für f ∈ L 2 (Ω) und λ ≥ 0 sind folglich äquivalent:(i) u ∈ D(A) und Au + λu = f(ii) u ∈ M(b) = M(F,b) undfür alle v ∈ M(b).(iii) u ∈ L 2 (Ω) und(a(∇u), ∇v − ∇u) + λ(u,v − u) Ω ≥ (f,v − u) ΩṼ (u) + λ 2 ‖u‖2 Ω − (f,u) Ω = min [Ṽ (v) + λv∈L 2 (Ω) 2 ‖v‖2 Ω − (f,v) Ω ] .Wenn λ > 0 ist, gibt es ein eindeutiges u, das diese drei äquivalenten Eigenschaftenhat. Wenn λ = 0 ist, gibt es für b < ∞ bei beschränktem Ω wenigstens ein u, das diesedrei Eigenschaften hat.Bemerkung 7.12 Dies bedeutet natürlich, daß das Randwertproblem−div a(∇u(x)) + λu(x) = f(x) , x ∈ Ω0 ≤ u(x) ≤ b , x ∈ ∂Ω⎧⎫⎪⎨≥ 0, u(x) = 0 ⎪⎬n(x) · a(∇u(x)) = 0, 0 < u(x) < b⎪⎩⎪⎭ x ∈ ∂Ω≤ 0, u(x) = bunter den angegebenen Bedingungen verallgemeinerte Lösungen besitzt.Beweis. Sei u ∈ L 2 (Ω) und ∂Ṽ (u) ≠ ∅ . Dann gibt es ein w ∈ L2 (Ω) mit w ∈ ∂Ṽ (u) ,und nach Satz 7.7 ist dies äquivalent zu u ∈ M(F,b) = M(b) und(∗)(a(∇u), ∇v − ∇u) Ω ≥ (w,v − u) Ωfür alle v ∈ M(b) . Nach 7.3.1 ist unter den angegebenen Voraussetzungen v = u ± ϕ ∈M(b) für alle ϕ ∈ ◦ C∞(Ω) . Für diese v ergibt sich nun±(a(∇u), ∇ϕ) Ω ≥ ±(w,ϕ) Ω ,folglich(a(∇u), ∇ϕ) Ω = (w,ϕ) Ω111