Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

Die Reihe ∑ ∞m=1 α mu m konvergiert in H1((0, ◦ 1)). Die Grenzfunktion bezeichne ich mitψ . Insbesondere konvergiert dann ∑ ∞m=1 α mu m bezüglich der L 2 –Norm gegen ψ . Andererseitsgilt∞∑α m u m =m=1=∞∑ √2 ( 1 + (mπ) 2)√ 2 ( )ϕ, sin(mπx)1 + (mπ) sin(mπx)2 (0,1)∞∑ ( √ ) [√ ]ϕ, 2 sin(mπx) 2 sin(mπx) ,m=1m=1(0,1)und diese Reihe konvergiert bezüglich der L 2 –Norm gegen ϕ, weil { √ 2 sin(mπx)} ∞ m=1 einvollständiges Orthonormalsystem ist in L 2 ((0, 1)), also gilt ϕ = ψ fast überall. Folglichist ϕ = ∑ ∞m=1 α mu m ∈ X . Da ϕ ∈ ◦ C∞((0, 1)) beliebig war, folgt ◦ C∞((0, 1)) ⊆ X , alsoist {u m } ∞ m=1 vollständig.Nun kann die Wirtingersche Ungleichung bewiesen werden. Für u ∈◦H1((0, 1)) seiα m = (u,u m ) 1,(0,1) .Dann giltu =∞∑α m u m ,m=1und ∫ 1|u ′ (x)| 2 dx = ‖u ′ ‖ 2 0,1 = ∥ ∑∞ α m u ′ ∥ 2 m . (0,1)0Die Reihe ∑ ∞m=1 α mu ′ m konvergiert bezüglich der L 2 –Norm. Wegen der Stetigkeit derNorm folgt somit∫ 10|u ′ (x)| 2 dx = ‖ limk→∞m=1= limk→∞‖= limk∑αmu ′ m‖ 2 (0,1)k∑m=1k∑k→∞m=1 l=1= − lim= limk→∞m=1k→∞m=1m=1( ∑kα m u ′ m‖ 2 (0,1) = limk→∞m=1k∑(α m u ′ m,α l u ′ l) (0,1) = limk∑α m α l (u ′′ m,u l ) (0,1) = limα m u ′ m,k∑k→∞m,l=1k→∞m=1k∑|α m | 2 (πm) 2 (u m ,u m ) (0,1) ≥ π 2 limk∑l=1)α l u ′ l (0,1)α m α l (u ′ m,u ′ l) (0,1)k∑α m α l (πm) 2 (u m ,u l ) (0,1)∞∑k→∞m=1|α m | 2 (u m ,u m ) (0,1)54