Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

In kanonischer Form lauten die EulergleichungenDas zugehörige Variationsfunktional ist( )u ′ (t) = H v t,u(t),v(t) = v(t)( ) mv ′ (t) = −H u t,u(t),v(t) = − k(t).J(u,v) =∫ ba[u ′ (t)v(t) − v(t)22m − k(t)u(t) ]dtDas Hamiltonsche Differentialgleichungsystem kann man auch folgendermaßen interpretieren:v(t) ist der Impuls des Teilchens zur Zeit t , u ′ (t) die Geschwindigkeit. DurchAngabe der Geschwindigkeit zu jeder Zeit wird die Bewegung des Teilchens vorgeschrieben.Die Gleichung u ′ (t) = 1 v(t) sagt nun, daß die Bewegung des Teilchens nichtmunabhängig vom Impuls ist, den das Teilchen trägt, sondern daß der Impuls die Geschwindigkeitbestimmt. Dagegen ist v ′ (t) = −k(t) die Newtonsche Bewegungsgleichungin ihrer allgemeinen Form.4.4.2 Das Fermatsche Prinzip Nach 3.3 ist zur Bestimmung des kürzesten Lichtwegeszwischen (a,α) und (b,β) das Funktionalzu minimieren mitI(u) =∫ baf ( x,u(x),u ′ (x) ) dxf(x,u,ξ) = n(x,u) √ 1 + ξ 2 .n(x,u)Wegen f ξξ (x,u,ξ) =(1+ξ 2 ) 3/2 > 0 ist f strikt konvex. Wegen ξ ↦→f ξ (x,u,ξ) = n(x,u) √ ξ ist der Wertbereich dieser Abbildung das offene Intervall1+ξ 2(−n(x,u),n(x,u)). Die Hamiltonfunktion istAlso giltH(x,u,v) = supξ∈Rund für |v| > n(x,u)Die Abbildung[v · ξ − f(x,u,ξ)]= supξ∈R[v · ξ − n(x,u)√1 + ξ2 ]H ( x,u,n(x,u) ) = n(x,u) sup ξ∈R(ξ −√1 + ξ2 ) = 0,H ( x,u, −n(x,u) ) = − n(x,u) inf ξ∈R(ξ +√1 + ξ2 ) = 0H(x,u,v) = n(x,u) supξ∈R(vn(x,u) ξ − √ )1 + ξ 2= +∞.ξξ ↦→ f ξ (x,u,ξ) = n(x,u) √ : R → ( − n(x,u),n(x,u) )1 + ξ267