Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

für alle x ∈ H . Dann nimmt f +g das Minimum an an der Stelle x 0 , genau dann wenn−y ∈ ∂f(x 0 ). Insbesondere nimmt f das Minimum an an der Stelle x 0 , genau dannwenn 0 ∈ ∂f(x 0 ).Beweis: −y ∈ ∂f(x 0 ) ist äquivalent zuund dies ist äquivalent zuf(x) ≥ (−y,x − x 0 ) + f(x 0 ) für alle x ∈ H ,f(x) + g(x) = f(x) + (y,x) ≥ f(x 0 ) + (y,x 0 ) = f(x 0 ) + g(x 0 )für alle x ∈ H, und dies ist schließlich äquivalent zu( )f(x 0 ) + g(x 0 ) = min f(x) + g(x) .x∈HSatz 6.13 (Surjektivität und Injektivität des Subdifferentials) Sei f : H →(−∞, ∞] eine konvexe, von unten halbstetige, koerzitive Funktion. Dann giltR(∂f) = H .Wenn f strikt konvex ist, dann ist ∂f injektiv, d.h. zu jedem y ∈ H gibt es genau einx ∈ H mity ∈ ∂f(x).Beweis: Sei y ∈ H . Um zu zeigen, daß y ∈ R(∂f) ist, betrachte die stetige lineareAbbildung g : H → R mitg(x) = (−y,x).Die Funktion f + g ist von unten halbstetig als Summe einer stetigen und einer vonunten halbstetigen Funktion. Nach Lemma 6.2 ist f + g konvex beziehungsweise striktkonvex, und nach Lemma 6.6 ist f + g koerzitiv. Nach Satz 6.7 gibt es also ein x 0 ∈ Hmit( )f(x 0 ) + g(x 0 ) = min f(x) + g(x) ,x∈Hund nach Lemma 6.12 ist dies äquivalent zuy ∈ ∂f(x 0 ),also ist R(∂f) = H . Wenn f + g strikt konvex ist, nimmt nach Satz 6.7 f + g dasMinimum an in genau einem Punkt x 0 ∈ H, also gilt y ∈ ∂f(x 0 ) nur genau für diesesx 0 , also ist ∂f injektiv.Folgerung 6.14 Sei f : H → (−∞, ∞] eine konvexe, von unten halbstetige Funktion.Dann gilt für alle α > 0, daßR(αI + ∂f) = H ,und αI + ∂f ist injektiv.97