Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

7.2 Variationsungleichung zum VariationsfunktionalSatz 7.7 (Subdifferential und Variationsungleichung) Sei F : R n → R stetig differenzierbar,konvex, strikt koerzitiv und sei M(F,b) ≠ ∅. Genau dann ist w ∈ ∂Ṽ (u),wenn u ∈ M(F,b), wenn∫|a(∇u(x)) · (∇v(x) − ∇u(x))|dx < ∞und wenn∫ΩΩa(∇u(x)) · (∇v(x) − ∇u(x))dx ≥ (w,v − u) Ωfür alle v ∈ M(F,b). Hierbei ist a(ξ) = grad F(ξ).Beweis: Beachte zunächst, daß für u,v ∈ M(F,b) , 0 ≤ t ≤ 1 und für alle x ∈ Ω dieFunktion1[F(t∇v(x) + (1 − t)∇u(x)) − F(∇u(x))]tmonoton fallend ist für t ց 0 . Denn seiH(t) = F(t∇v(x) + (1 − t)∇u(x)) ,0 < t 1 ≤ t 2 ≤ 1 und α = t 1t2. Dann ist H konvex, und somit folgt1(H(t 1 ) − H(0)) = 1 1t 1 t 2 α (H(αt 2 + (1 − α)0) − H(0))≤ 1 t 21α (αH(t 2) + (1 − α)H(0) − H(0))= 1 t 2(H(t 2 ) − H(0)) .Hieraus folgt die Behauptung. Da tv + (1 − t)u ∈ M(F,b) ist, ist alsox → 1 [F(t∇v(x) + (1 − t)∇u(x)) − F(∇u(x))]tfür t ց 0 eine monoton fallende Folge integrierbarer Funktionen.Sei nun w ∈ ∂Ṽ (u) . Dann folgt für alle v ∈ L2 (Ω) , daßṼ (v) ≥ (w,v − u) + Ṽ (u)gilt. Da M(F,b) nicht leer ist, gibt es v ∈ M(F,b) mit Ṽ (v) < ∞ . Dies kann nur sein,wenn Ṽ (u) < ∞ ist, und dies impliziert u ∈ M(F,b) . Für v ∈ M(F,b) folgt also aus106