Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

des Hilbertraumes H m (Ω) , also selbst ein Hilbertraum mit dem Skalarprodukt(u,v) m,Ω = ∑(D α u,D α v) Ω .|α|≤m2.3 Approximation von Sobolevfunktionen durch glatte FunktionenSatz 2.10 (Faltung) Sei 1 ≤ p ≤ ∞, ϕ ∈ L 1 (R n ), f : R n × R n → K mit x →f(y,x) ∈ L p (R n ) für alle y ∈ R n und sup h∈supp ϕ ‖f(·, · − h)‖ p < ∞. Dann existiert fürfast alle x ∈ R n das Integral∫∫F(x) = ϕ(x − y)f(x,y)dy = ϕ(y)f(x,x − y)dy ,R n R nund es gilt‖F ‖ p ≤ ‖ϕ‖ 1 sup ‖f(·, · − h)‖ p .h∈supp ϕBeweis: Sei p = ∞ . Dann folgt∫ess sup |F(x)| = ess sup |x∈R n x∈R n ϕ(y)f(x,x − y)dy|R n≤≤Hieraus folgt die Behauptung.ess sup |ϕ(y)| |f(x,x − y)|dyx∈R∫supp n ϕ∫|ϕ(y)| sup ess sup |f(x,x − h)|dyx∈R nsupp ϕh∈supp ϕ= ‖ϕ‖ 1 sup ‖f(·, · − h)‖ ∞ .h∈supp ϕSei p < ∞ , und sei 1 < q ≤ ∞ mit 1 + 1 = 1 . Dann folgt aus der Hölderschenp qUngleichung∫∣∫∣∣∣p|F(x)| p dx = ϕ(x − y)f(x,y)dy∣ dxR∫R n n R n∣∫∣ ∣∣∣≤ |(ϕ(x − y)|∫R 1 1 ∣∣∣pq |ϕ(x − y)|p |f(x,y)|dy dxn R n≤∫R n [∫pq= ‖ϕ‖ 1≤R n |ϕ(x − y)|dy∫R n ∫∫pq‖ϕ‖ 1 |ϕ(y)|R n] pq[∫ ]|ϕ(x − y)| |f(x,y)| p dy dxR n|ϕ(y)| |f(x,x − y)| p dxdyR n [ ∫]sup |f(x,x − y)| p dx dyy∈supp ϕ R npq= ‖ϕ‖+11 sup ‖f(·, · − y)‖ p p .y∈supp ϕ25