Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

eine stetige, (komplex) lineare Abbildung. Denn für λ = λ 1 +iλ 2 ∈ C mit λ 1 ,λ 2 ∈ R giltg((λ 1 + iλ 2 )x) = f((λ 1 + iλ 2 )x) − if(i(λ 1 + iλ 2 )x)= λ 1 f(x) + λ 2 f(ix) − λ 1 if(ix) + λ 2 if(x)= (λ 1 + iλ 2 )f(x) − (λ 1 + iλ 2 )if(ix)= (λ 1 + iλ 2 )g(x) .Somit ist g ∈ H ′ , also ist g auch in der schwachen Topologie stetig, also auch f = Reg ,als Hintereinanderausführung von g und der Projektion auf die reelle Achse.Definition 5.14 (Beschränkte Mengen) Sei V ein topologischer Vektorraum. EineMenge M ⊆ V heißt beschränkt, wenn es zu jeder Nullumgebung U eine Zahl λ 0 > 0gibt mit M ⊆ λU für alle λ ∈ K mit |λ| ≥ λ 0 .Als Beispiel betrachte man folgenden Spezialfall: Sei V normierter Raum: Eine MengeM ⊆ V ist beschränkt, genau dann, wennsup ‖x‖ < ∞ .x∈MM ist beschränkt in der schwachen Topologie, genau dann, wenn für jedes f ∈ V ′ giltsup |f(x)| < ∞ .x∈MSatz 5.15 (Äquivalenz von schwacher und Normbeschränktheit) Sei V einnormierter Raum und M ⊆ V . Es gilt: M ist schwach beschränkt, genau dann, wennM beschänkt ist.Zum Beweis braucht man folgendenSatz 5.16 (von Banach-Steinhaus) Sei X ein Banachraum, Y ein normierter Raumund F eine Menge von stetigen linearen Abbildungen von X nach Y mitfür alle x ∈ X . Dann giltsup ‖Tx‖ Y < ∞T ∈Fsup ‖T ‖ < ∞ .T ∈FHierbei ist die Norm von T wie üblich definiert:‖T ‖ = sup ‖Tx‖ Y .‖x‖≤1Beweis von Satz 5.15: Wenn M beschränkt ist, folgt für alle f ∈ V ′sup |f(x)| ≤ sup ‖f‖ ‖x‖ ≤ ‖f‖ sup ‖x‖ < ∞ ,x∈M x∈Mx∈M85