Variationsrechnung und SobolevrÃ¤ume - Fachbereich Mathematik ...

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Lehrbücher[1] D. Agmon: Lectures on Elliptic Boundary Value Problems. Van Nostrand, NewYork, 1965.[2] H.W. Alt: Lineare Funktionalanalysis. Berlin, Springer, 1985.[3] H. Brezis: Operateurs maximaux monotones et semi–groupes de contractions dansles espaces de Hilbert. North–Holland, Amsterdam, 1973.[4] B. Dacorogna: Direct methods in the calculus of variations. Springer, 1989.[5] B. Dacorogna: Introduction au calcul des variations. Presse Polytechniques et UniversitairesRomandes, Lausanne, 1992.[6] K. Deimling: Nonlinear Functional Analysis. Springer, Berlin, 1985.[7] G. Duvaut; J.L. Lions: Inequalities in mechanics and physics. Springer, Berlin, 1976.[8] L. C. Evans: Weak convergence methods for nonlinear partial differential equations.Regional Conference Series in Mathematics 74. Amer. Math. Soc., 1990.[9] S. Fučik; J. Nečas; V. Souček: Einführung in die Variationsrechnung. Teubner, Leipzig,1977.[10] D. Gilbarg; N.S. Trudinger: Elliptic partial differential equations of second order.Springer, Berlin, 1977.[11] L. Hörmander: The analysis of linear partial differential operators. Vol. 1–4. Springer,Berlin, 1985.[12] D. Kinderlehrer; G. Stampacchia: An introduction to variational inequalities andtheir applications. Academic Press, New York, 1980.[13] E. Klingbeil: Variationsrechnung. BI–Wissenschaftsverlag, Mannheim, 1988.[14] N. Koshlyakov; M. Smirnov; E. Gliner: Differential equations of mathematical physics.North-Holland, Amsterdam, 1964.[15] O.A. Ladyzhenskaja: The boundary value problems of mathematical physics. AmericanMath. Society, 1977.[16] A. Langenbach: Monotone Potentialoperatoren in Theorie und Anwendung. Springer,Berlin, 1977.[17] R. Leis: Vorlesungen über partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung. BibliographischesInstitut, Mannheim, 1967.[18] R. Leis: Initial boundary value problems in mathematical physics. Teubner, Stuttgart,1986.120
[19] A. Sommerfeld: Partielle Differentialgleichungen der Physik. 5. Auflage, AkademischeVerlagsgesellschaft, Leipzig, 1962.[20] M. Struwe: Variational methods: Applications to nonlinear partial differential equationsand Hamiltonian systems. Springer, 1990.[21] M Vainberg: Variational method und method of monotone operators in the theoryof nonlinear equations. Wiley, Chichester, 1972.[22] W. Velte: Direkte Methoden der Variationsrechnung. Teubner, Stuttgart, 1976.[23] E. Zeidler: Vorlesungen über nichtlineare Funktionalanalysis I–III. Teubner, Leipzig,1978. Erweiterte Fassung: Nonlinear functional analysis and its applications I–IV,Springer, 1985/86121
Seite 1 und 2:
VorlesungsskriptVariationsrechnungu
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4.3 Hamiltonsche Differentialgleich
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oder mehrere Funktionen u : Ω →
Seite 8 und 9:
¨s(t) = d2 sdt 2 (t) = g cos β =
Seite 10 und 11:
1.2.4 Dirichletsches Integral Sei n
Seite 12 und 13:
die Parametrisierung einer geschlos
Seite 14 und 15:
Eine Möglichkeit, das Minimum eine
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der Variationsrechnung und für die
Seite 18:
alsoodersomit |(x,y)| 2 ≤ (x,x)(y
Seite 21 und 22:
also(∗)sup |f k (x) − f l (x)|
Seite 23 und 24:
Lemma 2.4 (Minkowski-Ungleichung) S
Seite 25 und 26:
µ - fast überall. Da |f(x)−f l
Seite 27 und 28:
Satz 2.7 (Vollständigkeit der Sobo
Seite 29 und 30:
des Hilbertraumes H m (Ω) , also s
Seite 31 und 32:
2.3.1 Dirac-Familie Eine Familie {
Seite 33 und 34:
Beweis: Sei E ⊆ Ω meßbar und be
Seite 35 und 36:
für alle x mit dist(x, supp u) >
Seite 37 und 38:
Wegen V i ⊆ U i ist dist(V i ,
Seite 39 und 40:
Beweis: Sei ϕ ∈ C∞(Ω) ◦ , s
Seite 41 und 42:
alsof(x) ≥ f(y) + ∇f(y) · (x
Seite 43 und 44:
0 = d dt I(u + tϕ) | t=0= d dt==
Seite 45 und 46:
Teilmenge von [a,b], auf der sich u
Seite 47 und 48:
für alle x ∈ [−1, 1]. Wenn u s
Seite 49 und 50:
alsou ′ (x) = c x .Die allgemeine
Seite 51 und 52:
Beweis: Sei a < y < b. Seiχ y (x)
Seite 53 und 54:
Also ist u ∈ C 2 ([a,b]) eine Lö
Seite 55 und 56:
3.2.5 Wirtingersche Ungleichung Sei
Seite 57 und 58:
Weiter muß gezeigt werden, daß {u
Seite 59 und 60:
= π 2 limk∑k→∞m,l=1= π 2 li
Seite 61 und 62:
nichtleere, konvexe und offene Meng
Seite 63 und 64:
Beweis: (i) Seien y,z ∈ R n und t
Seite 65 und 66:
Wäre nun y ≠ z , dann folgtef(z)
Seite 67 und 68:
Wegen f ξξ (x,u,g(x,u,v)) > 0 fol
Seite 69 und 70:
also0 = d dt J(w + tϕ) | t=0∫ b
Seite 71 und 72:
In kanonischer Form lauten die Eule
Seite 73 und 74: Man kann diese Gleichungen folgende
Seite 75 und 76: 4.4.5 Der Fall f(x,u,ξ) = f(u,ξ)
Seite 77 und 78: Hiermit folgtd[ ( ) ]S γ x,u(x),γ
Seite 79 und 80: für alle (x,u) ∈ U . Ich werde z
Seite 81 und 82: (x,u(x,α)) sind die von dieser Lin
Seite 83 und 84: Zum Beweis des Satzes genügt es al
Seite 85 und 86: Satz 5.9 (Trennungssatz) Sei H ein
Seite 87 und 88: gelte lim n→∞ f(x n ) = f(x) f
Seite 89 und 90: eine stetige, (komplex) lineare Abb
Seite 91 und 92: Beweis: Sei {x n } ∞ n=1 ⊆ B 1
Seite 93 und 94: 6 Konvexe Funktionale6.1 Unterhalbs
Seite 95 und 96: Lemma 6.6 Sei H ein Hilbertraum, se
Seite 97 und 98: also istt(x,λ) + (1 − t)(y,µ) =
Seite 99 und 100: ) Sei H ein reeller Hilbertraum, se
Seite 101 und 102: für alle x ∈ H . Dann nimmt f +g
Seite 103 und 104: 7 Direkte Methoden der Variationsre
Seite 105 und 106: Beweis: Seien v 1 ,v 2 ∈ M(F,b) u
Seite 107 und 108: für alle u ∈ M . Für alle ander
Seite 109 und 110: folglichund somit∫ x1y 1|y 1|u(z)
Seite 111 und 112: dem Satz von Beppo Levi1(w,v − u)
Seite 113 und 114: weil man dann in (∗) v = u±ϕ se
Seite 115 und 116: für alle ξ ∈ R n . Dann gilt∂
Seite 117 und 118: 8 Existenztheorie für das Hinderni
Seite 119 und 120: für fast alle x ∈ ∂Ω. Wegen j
Seite 121 und 122: =+≤=∫1 [lim |t∇v − (1 − t
Seite 123: .) u ∈ M und∫ []1Ω 2 |∇u(x)|
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