Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

dem Satz von Beppo Levi1(w,v − u) Ω ≤ lim [Ṽ (tv + (1 − t)u) − Ṽ (u)]tց0 t1= lim [F(t∇v(x) + (1 − t)∇u(x)) − F(∇u(x))]dxtց0∫Ω t∫1= lim [F(t∇v(x) + (1 − t)∇u(x)) − F(∇u(x))]dxtց0 t==∫∫ΩΩΩddt F(t∇v(x) + (1 − t)∇u(x))∣ ∣t=0dx∫grad F(∇u(x)) · (∇v(x) − ∇u(x))dx =Ωa(∇u) · (∇v − ∇u)dx ,und der Satz von Beppo Levi liefert auch, daß das letzte Integral existiert, also daß∫(∗)|a(∇u) · (∇v − ∇u)|dx < ∞ .ΩWenn umgekehrt u ∈ M(F,b) ist, das Integral (∗) endlich ist, und∫a(∇u) · (∇v − ∇u)dx ≥ (w,v − u)Ωgilt für alle v ∈ M(F,b) , dann folgt∫(w,v − u) Ω ≤ a(∇u) · (∇v − ∇u)dxalso=≤∫∫ΩΩΩ1lim [F(t∇v + (1 − t)∇u) − F(∇u)]dxtց0 t(F(∇v) − F(∇u))dx = Ṽ (v) − Ṽ (u) ,Ṽ (v) ≥ (w,v − u) Ω + Ṽ (u) .Diese Ungleichung gilt auch für alle v ∈ L 2 (Ω)\M(F,b) , weil dann Ṽ (v) = +∞ ist, alsoist w ∈ ∂Ṽ (u) .Folgerung 7.8 (Variationsungleichung zum Variationsfunktional, schwacheForm der Eulergleichung) Sei Ω ⊆ R n eine offene Menge. F : R n → R sei stetigdifferenzierbar, konvex, strikt koerzitiv und sei M(F,b) ≠ 0. Sei f ∈ L 2 (Ω) und seiλ ≥ 0. Dann sind die folgenden Aussagen (i) und (ii) äquivalent:(i) u ∈ L 2 (Ω) undṼ (u) + λ 2 ‖u‖2 Ω − (f,u) Ω = min [Ṽ (v) + λv∈L 2 (Ω 2 ‖v‖2 Ω − (f,v) Ω ] ;107