Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

nichtleere, konvexe und offene Mengenichtleeren Menge {(y,f(y))} trennt.◦⌢epi (f) von der einpunktigen, also konvexen undDiese Hyperebene muß den Punkt (y,f(y)) enthalten. Also kann man diese Hyperebeneals Graph einer Funktionx ↦→ z · (x − y) + f(y)darstellen mit geeignetem z ∈ R n . Da die Hyperebene keinen Punkt vongilt für alle x ∈ R nz · (x − y) + f(y) ≤ f(x).Damit ist der Satz bewiesen.◦⌢epi (f) enthält,Beispiel. Die Funktion x ↦→ f(x) := |x| : R n → R ist konvex. Für y ≠ 0 ist fdifferenzierbar mit∇f(y) = y|y|und es gilt in diesem Fallf(x) ≥ f(y) + ∇f(y) · (x − y) = f(y) + y (x − y).|y|Für y = 0 gilt für alle z ∈ R n mit |z| ≤ 1alsoz · x ≤ |z| |x| ≤ |x|,f(x) ≥ z · x = f(0) + z · (x − 0),Falls f(x) ≥ f(y) + z · (x − y) für alle x ∈ R n gilt, dann ist der Graph der Funktionx ↦→ z · (x − y) + f(y) eine Hyperebene durch den Punkt (y,f(y)), die ganz unter demGraphen der Funktion f liegt, und z ist der Gradient der Funktion x ↦→ z ·(x−y)+f(y)...f✻....y✲Der Satz 4.1 motiviert die folgende57