Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

gilt für alle v ∈ M(b) . Für u ∈ D(A) seiAu = −div a(∇u) .Hierbei wird vorausgesetzt, daß a die Voraussetzungen aus 7.3.1 erfüllt.Zur Motivation dieser Definition beachte man, daß div g eindeutig bestimmt ist (Beweiswie in Lemma 2.6), und daß für g ∈ C 1 (Ω) die verallgemeinerte Divergenz von g mit derklassischen Divergenz ∑ n ∂i=1 ∂x ig(x) übereinstimmt. Wenn a ∈ C 1 (R n ) und u ∈ C 2 (Ω)ist, ist also div a(∇u(x)) die klassische Divergenz. Der Gaußsche Satz liefert dann fürGebiete mit glattem Rand ∂Ω und für v ∈ ˜M(b)(∗)(a(∇u), ∇v − ∇u) Ω + (div a(∇u), v − u) Ω∫= [a(∇u(x)) · (∇v(x)) − ∇u(x)) + div a(∇u(x)) (v(x) − u(x)) ]dx∫Ω= div [a(∇u(x)) (v(x) − u(x)) ]dx∫Ω= n(x) · a(∇u(x)) (v(x) − u(x))dS x ,∂Ωwobei n(x) die äußere Einheitsnormale an ∂Ω im Punkte x ∈ ∂Ω ist. Wenn u zu D(A)gehört, muß die rechte Seite dieser Gleichung größer oder gleich Null sein, und für b > 0ist dies genau dann der Fall, wenn⎧⎪⎨≥ 0, u(x) = 0(∗∗)n(x) · a(∇u(x)) = 0, 0 < u(x) < b⎪⎩≤ 0, u(x) = bgilt. Denn daß die rechte Seite von (∗) nicht negativ ist, wenn (∗∗) erfüllt ist, ist klar.Die Umkehrung erhält man ähnlich wie in Abschnitt 1.1, indem man v = u + ψ ∈M(b) setzt mit Funktionen ψ ∈ C ∞ (Ω) , die am Rande ∂Ω geeignete Werte annehmen.Solche Funktionen ψ können wie im dritten Kapitel durch Faltung mit geeigneten ◦ C∞–Funktionen konstruiert werden. Die Einzelheiten bleiben dem Leser überlassen. Dieszeigt, daß die Forderung(a(∇u), ∇v − ∇u) Ω ≥ −(div a(∇u), v − u) Ωeine Verallgemeinerung der Randbedingung (∗∗) ist auf Gebiete mit nichtglattem Randund auf Funktionen, für die ∇u(x) am Rande nicht unbedingt zu existieren braucht.Satz 7.11 (Dirichletsches Prinzip) Sei Ω ⊆ R n eine offene Menge, sie F : R n → Rstetig differenzierbar, konvex und strikt koerzitiv. Außerdem gelte F(0) = 0, und es gebeeine Konstante c > 0 mit|a(ξ)| = |grad F(ξ)| ≤ c |ξ|110