Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

Nach Voraussetzung ist M konvex und bezüglich der H 1 (Ω)–Norm abgeschlossen. NachSatz 5.13 ist M also auch bezüglich der schwachen Toplogie von H 1 (Ω) abgeschlossen,folglich gilt u ∈ M .Wieder nach Voraussetzung ist W | Mkonvex und bezüglich der H 1 (Ω)–Norm von untenhalbstetig. Nach Satz 6.3 ist somit W | Mauch schwach von unten halbstetig bezüglichder schwachen Topologie von H 1 (Ω) , also folgtW(u) ≤lim infm→∞= lim infm→∞ W(u m) ;dies bedeutet, daß W von unten halbstetig ist.W(u′′ m) = limm→∞ W(u′ m)Folgerung 7.5 (Konvexität und Unterhalbstetigkeit von Variationsfunktionalenauf L 2 (Ω)) Sei F : R n → R stetig differenzierbar, konvex und strikt koerzitiv. Dannist Ṽ : L2 (Ω) → (−∞, ∞] konvex und von unten halbstetig.Beweis: Satz 7.3 zeigt, daß die Voraussetzungen von Lemma 7.4 erfüllt sind. Also folgtdie Behauptung aus diesem Lemma.Als letztes Zwischenergebnis benötige ichLemma 7.6 (Eine Version der Poincaréschen Ungleichung) Sei Ω ⊆ R n eine offeneund beschränkte Menge mitund sei 0 ≤ b < ∞. Dann gilt für u ∈ Mwobei meas Ω = ∫ dx sei.Ωd = sup |x − y| ,x,y∈Ω‖u‖ 2 Ω ≤ d 2 |u| 2 1,Ω + 2b 2 meas Ω ,Beweis: Sei zunächst u ∈ ˜M(b) = {u ∈ C 1 (Ω) ∩ H 1 (Ω) | ∀x ∈ ∂Ω : 0 ≤ u(x) ≤ b} ,sei x = (x 1 ,...,x n ) ∈ Ω , x ′ = (x 2 ,...,x n ) und sei L(x ′ ) = {z ∈ R n | (z 2 ,...,z n ) =x ′ } . Schließlich sei y ∈ (L(x ′ ) ∩ ∂Ω) der Randpunkt von Ω mit y 1 < x 1 und mit derEigenschaft, daß alle Punkte auf der Geraden L(x ′ ) zwischen y und x zu Ω gehören. Dannfolgt aus dem Hauptsatz der Differential– und Integralrechung und aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichungalsou(x) =∫ x1y 1∂∂x 1u(z)dz 1 + u(y) ,∫ x1|u(x)| 2 ≤ 2 | u(z)dz 1 | 2 + 2 |u(y)| 2y 1≤ 2(x 1 − y 1 )∫ x1y 1|∂u(z)| 2 dz 1 + 2 |u(y)| 2 ,∂x 1104