Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

für fast alle x ∈ Ω . Nach Voraussetzung gilt außerdem F(∇u ′′ m(x)) ≥ 0 und∫lim F(∇u ′′ m(x))dx = lim Vm→∞m→∞ (u′′ m) = lim V (u m) = α .m→∞ΩSomit sind die Voraussetzungen des Lemmas von Fatou erfüllt, und es folgt∫∫F(∇u(x))dx = limΩΩm→∞ F(∇u′′ m(x))dx∫∫= lim infΩm→∞F(∇u′′ m(x))dx ≤ lim inf F(∇u ′′ m(x))dxm→∞Ω∫= limm→∞ΩF(∇u ′′ m(x))dx = α = lim infm→∞ V (u m) < ∞ .Dies bedeutet zunächst, daß u ∈ M(F,b) ist. Dann aber folgt∫V (u) = F(∇u(x))dx ,und somitV (u) ≤ lim inf V (u m) ,m→∞folglich ist V von unten halbstetig.Als nächstes brauche ich folgendes Resultat:ΩLemma 7.4 Sei M ⊆ H 1 (Ω) eine konvexe und bezüglich der H 1 (Ω)–Norm abgeschlosseneTeilmenge, und seiW : L 2 (Ω) → (−∞, ∞]mit W |L 2 (Ω)\M = +∞.Außerdem sei W | Mkonvex, bezüglich der H 1 (Ω)–Norm von unten halbstetig, und es gebeKonstanten c 1 > 0, c 2 ≥ 0 mitW(u) ≥ c 1 |u| 2 1,Ω − c 2für alle u ∈ M . Dann ist W konvex und bezüglich der L 2 –Norm von unten halbstetig.Ist W | Mauch koerzitiv bezüglich der H 1 (Ω)–Norm, dann ist W zusätzlich auch koerzitivbezüglich der L 2 –Norm.Beweis: Um zu zeigen, daß W konvex ist, muß für alle u,v ∈ L 2 (Ω) und für alle 0 < t < 1gezeigt werden, daß(∗)W ( tu + (1−t)v) ≤ tW(u) + (1−t)W(v)gilt. Wenn u,v ∈ M sind, ist dies nach Voraussetzung klar. Wenn wenigstens eine derFunktionen u,v nicht zu M gehört, dann ist der Wert der rechten Seite dieser Ungleichung+∞ , also ist sie erfüllt. Somit ist W konvex. Wenn W | Mkoerzitiv ist, existierenKonstanten c 1 > 0 , c 2 ≥ 0 mitW(u) ≥ c 1 ‖u‖ 2 1,Ω − c 2 ≥ c 1 ‖u‖ 2 Ω − c 2102