Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

Es gilt aber sogar∫ 10∫ 1|u ′ (x)| 2 dx ≥ π 2 |u(x)| 2 dx.Diese Ungleichung heißt Wirtingersche Ungleichung. Bevor ich diese Ungleichung beweise,zeige ich noch, daß diese Ungleichung für λ 2 > π 2 nicht gilt: Denn füristI(u) = 1 2= − 1 2= − 1 2u(x) = sinπx ∈ D∫ 10∫ 10∫ 10= 1 2 (π2 − λ 2 )0u ′ (x) 2 − λ 2 u(x) 2 dxu(x)u ′′ (x) + λ 2 u(x) 2 dx[u ′′ (x) + λ 2 u(x) ] u(x)dx∫ 10(sin πx) 2 dx < 0.Beweis der√Wirtingerschen Ungleichung. Ich zeige zuerst, daß {u m } ∞ m=1 mit2u m (x) = sin(mπx) ein vollständiges Orthonormalsystem ist im Hilbertraum1+(mπ) 2◦H1((0, 1)) = H ◦ 2 1((0, 1)). Hierzu muß zuerst gezeigt werden, daß u m ∈ H1((0, ◦ 1)) ist fürm ∈ N. Sei für ε > 0 und x ∈ R{ (um (1 + ε)(x −12v m,ε (x) =) + ) 12 ,ε≤ x ≤ 2+ε2(1+ε) 2(1+ε)0, sonstWegen v m,ε (x) = 0 für x =Ableitungv ′ m,ε(x) =ε2(1+ε)und x =2+ε2(1+ε) ist v m,ε ∈ H 1 (R) mit der schwachen{ ((1 + ε)u′m (1 + ε)(x −1) + ) 12 2 ,ε≤ x ≤ 2+ε2(1+ε) 2(1+ε)0, sonst,und verschwindet in einer Umgebung der Randpunkte x = 0 und x = 1. Nach Folgerung2.16 gibt es eine Folge {ϕ k } ∞ k=1 mit ϕ k ∈ ◦ C∞((0, 1)) und ‖v m,ε −ϕ k ‖ 2,1,Ω → 0 für k → ∞,also ist v m,ε ∈ ◦ H1((0, 1)). Außerdem gilt ‖u m − v m,ε ‖ 2,1,(0,1) → 0 für ε → 0, also folgtu m ∈ ◦ H1((0, 1)) = ◦ H1((0, 1)).52