Da u ′ (x) = H v(x,u(x),v(x))genau dann gilt, wenn v(x) = fξ(x,u(x),u ′ (x) ) ist, gilt{(u,v) ∈ C 2([a,b])× C1([a,b]): u ′ (x) = H v(x,u(x),v(x)) }={(u,v) ∈ C 2([a,b])× C1([a,b]): v(x) = fξ(x,u(x),u ′ (x) )} .Dies ist eine Untermannigfaltigkeit von C 2 ([a,b]]×C 1 ([a,b]). Die obenstehende Gleichungzeigt, daß auf dieser Untermannigfaltigkeit J(u,v) mit I(u) übereinstimmt. Dies zeigt,daß das Minimieren von J(u,v) unter der Nebenbedingung v(x) = f ξ(x,u(x),u ′ (x) )äquivalent ist zum Minimieren von I(u).4.4 Beispiele4.4.1 Das Hamiltonsche Prinzip Nach 1.2.3 bewegt sich ein Massenpunkt vom Ortα ∈ R zur Zeit a nach dem Ort β ∈ R zur Zeit b , so daß∫ baT ( u ′ (t) ) − U ( t,u(t) ) dt =∫ ba[ 12 mu′ (t) 2 − k(t)u(t)]dtstationär ist, wobei −k(t) die zur Zeit t auf den Massenpunkt wirkende Kraft ist. Alsoistf(t,u,ξ) = 1 2 mξ2 − k(t)u.Die Eulergleichung istalsoddt f (ξ t,u(t),u ′ (t) ) (= f u t,u(t),u ′ (t) ) ,mu ′′ (t) = −k(t).Dies ist das Newtonsche Bewegungsgesetz. Die Hamiltonfunktion H istwobei v ↦→ g(t,u,v) die Inverse vonH(t,u,v) = v · g(t,u,v) − f ( t,u,g(t,u,v) ) ,ξ → f ξ (t,u,ξ) = mξist, alsog(t,u,v) = 1 m v ,<strong>und</strong> somitH(t,u,v) =1 m v2 − 1 2 m ( vm) 2+ k(t)u =v 22m + k(t)u.66
In kanonischer Form lauten die EulergleichungenDas zugehörige Variationsfunktional ist( )u ′ (t) = H v t,u(t),v(t) = v(t)( ) mv ′ (t) = −H u t,u(t),v(t) = − k(t).J(u,v) =∫ ba[u ′ (t)v(t) − v(t)22m − k(t)u(t) ]dtDas Hamiltonsche Differentialgleichungsystem kann man auch folgendermaßen interpretieren:v(t) ist der Impuls des Teilchens zur Zeit t , u ′ (t) die Geschwindigkeit. DurchAngabe der Geschwindigkeit zu jeder Zeit wird die Bewegung des Teilchens vorgeschrieben.Die Gleichung u ′ (t) = 1 v(t) sagt nun, daß die Bewegung des Teilchens nichtmunabhängig vom Impuls ist, den das Teilchen trägt, sondern daß der Impuls die Geschwindigkeitbestimmt. Dagegen ist v ′ (t) = −k(t) die Newtonsche Bewegungsgleichungin ihrer allgemeinen Form.4.4.2 Das Fermatsche Prinzip Nach 3.3 ist zur Bestimmung des kürzesten Lichtwegeszwischen (a,α) <strong>und</strong> (b,β) das Funktionalzu minimieren mitI(u) =∫ baf ( x,u(x),u ′ (x) ) dxf(x,u,ξ) = n(x,u) √ 1 + ξ 2 .n(x,u)Wegen f ξξ (x,u,ξ) =(1+ξ 2 ) 3/2 > 0 ist f strikt konvex. Wegen ξ ↦→f ξ (x,u,ξ) = n(x,u) √ ξ ist der Wertbereich dieser Abbildung das offene Intervall1+ξ 2(−n(x,u),n(x,u)). Die Hamiltonfunktion istAlso giltH(x,u,v) = supξ∈R<strong>und</strong> für |v| > n(x,u)Die Abbildung[v · ξ − f(x,u,ξ)]= supξ∈R[v · ξ − n(x,u)√1 + ξ2 ]H ( x,u,n(x,u) ) = n(x,u) sup ξ∈R(ξ −√1 + ξ2 ) = 0,H ( x,u, −n(x,u) ) = − n(x,u) inf ξ∈R(ξ +√1 + ξ2 ) = 0H(x,u,v) = n(x,u) supξ∈R(vn(x,u) ξ − √ )1 + ξ 2= +∞.ξξ ↦→ f ξ (x,u,ξ) = n(x,u) √ : R → ( − n(x,u),n(x,u) )1 + ξ267
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VorlesungsskriptVariationsrechnungu
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4.3 Hamiltonsche Differentialgleich
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oder mehrere Funktionen u : Ω →
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¨s(t) = d2 sdt 2 (t) = g cos β =
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1.2.4 Dirichletsches Integral Sei n
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die Parametrisierung einer geschlos
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Eine Möglichkeit, das Minimum eine
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der Variationsrechnung und für die
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alsoodersomit |(x,y)| 2 ≤ (x,x)(y
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=+≤=∫1 [lim |t∇v − (1 − t
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.) u ∈ M und∫ []1Ω 2 |∇u(x)|
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[19] A. Sommerfeld: Partielle Diffe
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