Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

also0 = d dt J(w + tϕ) | t=0∫ b∂[ (u=′ (x) + tϕ ′∂t1(x) )[ v(x) + tϕ 2 (x) )==a− H ( x,u(x) + tϕ 1 (x),v(x) + tϕ 2 (x) )] | t=0dx∫ b[v(x)ϕ ′ 1(x) + u ′ (x)ϕ 2 (x)a( ) ( ) ]− H u x,u(x),v(x) ϕ1 (x) − H v x,u(x),v(x) ϕ2 (x) dx( ( ) )− v ′ (x) − H u x,u(x),v(x) ϕ 1 (x)a( ( ) )+ u ′ (x) − H v x,u(x),v(x) ϕ 2 (x)dx∫ bInsbesondere gilt dies für alle ϕ ∈ ◦ C∞((a,b), R 2 ) der Form ϕ = (ϕ 1 , 0) und der Formϕ = (0,ϕ 2 ), also folgtu ′ (x) = H v(x,u(x),v(x))v ′ (x) = − H u(x,u(x),v(x)).Die Eulergleichungen zum Funktional J stimmen als mit dem Gleichungssystem (1) ausSatz 4.6 überein. Unter gewissen Bedingungen an f ist die Bestimmung der stationärenPunkte von I äquivalent zur Bestimmung der stationären Punkte von J . Dabei verstehtman unter einem stationären Punkt von I beziehungsweise J eine Lösung derentsprechenden Eulergleichung. Man sagt, das Gleichungssystem (1) von Satz 4.6 sei diekanonische Form der Eulergleichungen. Man nennt es auch das HamiltonscheDifferentialgleichungssystem.Wegen H ∈ C 1 (W) gilt nach Lemma 4.4f ( x,u,H v (x,u,v) ) = H ∗( x,u,H v (x,u,v) )Falls u ′ (x) = H v (x,u(x)v(x)) erfüllt ist, gilt also= H v (x,u,v) · v − H(x,u,v).f ( x,u(x),u ′ (x) ) = u ′ (x)v(x) − H ( x,u(x),v(x) ) ,und somitJ(u,v) ==∫ ba∫ ba= I(u).[u ′ (x)v(x) − H ( x,u(x),v(x) )] dxf ( x,u(x),u ′ (x) ) dx65