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x i D ij C x j Ck A x y k Podemos desarrollar numéricamente el primer término de la ecuación anterior. De ese modo: C D x lm l x m x D C xx x ij i, j (4.28) y D C yy y ij x D C xy y ij y D C yx x ij donde para facilitar el desarrollo posterior se introduce la notación x C ij C ij x y y C ij C ij y ; se entiende además que las componentes del tensor D están referidas al elemento discretizado (i, j). Desarrollando términos separadamente, y recurriendo a un esquema de diferencias finitas centradas: x D C xx x ij D xx 2x C C x i, j1 x i, j1 D C xx i, j2 C i, j 2x 2x D xx C 4x 2 i, j2 C i, j2 2C i, j a D ij xx y D C yy y ij D yy 2y C C y i1, j y i1, j D C yy i2, j C i, j 2y 2y D yy 4y 2 C i2, j C i2, j 2C i, j b D ij yy C i, j C i, j2 2x C i2, j C i, j 2y (4.29) (4.30) x D C xy y ij D xy 2x C C y i, j1 y i, j1 D C xy i1, j1 C i1, j1 2x 2y D xy 4xy C C C C i1, j1 i1, j1 i1, j1 i1, j1 c D ij xy (4.31) C i1, j1 C i1, j1 2y 118
x D C yx y ij D yx 2y C C x i, j1 x i, j1 D C yx i1, j1 C i1, j1 2y 2x D yx 4yx C C C C i1, j1 i1, j1 i1, j1 i1, j1 d D c D ij yx ij xy (4.32) C i1, j1 C i1, j1 2x De ese modo, se tiene, con la notación introducida de a ij , b ij y c ij ,(directamente calculables a partir del mapa de concentraciones en cada instante) la siguiente expresión para cada celda (i, j), Ck A x y k a ij D xx b ij D yy 2c ij D xy (4.33) Las dispersividades efectivas instantáneas de la celda (i, j) , α L y α T , están referidas a los ejes de referencia definidos por la velocidad local instantánea, que no coinciden necesariamente con los ejes X e Y del sistema de referencia global para el dominio estudiado. Las expresiones que relacionan la forma diagonal del tensor de dispersión mecánica en ambos sistemas de referencia son, D v v 2 x xx L T v 2 y v 2 2 ( vx vy ) D v v 2 y yy L T v 2 x v 2 2 ( vx vy ) (4.33) D v v vx vy v D v x y xy yx L T 2 2 ( vx vy ) Expresiones que reducen las incógnitas a obtener en cada celda las dos dispersividades efectivas buscadas. Por otra parte, la dispersividad transversal tiene un valor próximo a un orden de magnitud menor a la dispersividad longitudinal lo que permite una nueva simplificación en el cálculo. Si asumimos que α T = ε α L , la ecuación que se ha obtenido para cada celda pasa a depender exclusivamente de α L . Se tiene así, por tanto, una expresión para la estimación de las dispersividades longitudinales locales efectivas instantáneas a partir de un conocimiento exhaustivo del campo de velocidades y de los valores de concentración locales en cada instante t k . 119
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