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punto y. Si estas frecuencias de salto forman un campo aleatorio estadísticamente no
dependiente, la concentración promedio C( x, t)
se convierte en la llamada “ecuación
generalizada del modelo de random walk continuo en el tiempo”:
C( x, t)
t
t
0
y x, t C( x, ) d ( x y, t ) C( y, ) d
y
y
(2.90)
Donde la función (z,s) queda definida a través de su transformada de Laplace:
( z, )
( z, )
(2.91)
1 ( )
Donde
s
( z, )
(2.92)
s
z
Siendo ψ(x,s) la probabilidad de un salto de longitud z en un intervalo de tiempo
s y ψ s (s) la probabilidad de ese salto.
Si esta función (z,s) está centrada alrededor de la media (a partir de cierto
valor de z la probabilidad se reduce a cero), puede centrarse el análisis a un espectro de
pequeños desplazamientos. Esto permite reemplazar el número finito de puntos a un
espectro continuo al expandir
Cy ( , )
alrededor de x mediante una serie de Taylor.
T
1 T T
C( y, t) C( x, t) ( y x) x
C( x, t) ( y x) xx
C( x, t) ( y x) ...
(2.93)
2
Despreciando los términos de orden superior a 2 y sustituyendo en (2.93),
reemplazando los sumatorios por integrales y asumiendo que se trata de un campo
estadísticamente homogéneo, se obtiene la expresión del modelo de random walk
continuo en el tiempo como una ecuación de transporte no local:
C( x, t)
t
t
0
l
l
V ( t ) D ( t ) C( x, ) d
(2.94)
Donde el vector V l y el tensor D l son, respectivamente:
Vl ( t) x y,
t
dy
1
T
Dl
( x y, t )( x y)( x y)
dy
2
(2.95)
(2.96)
48