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2.6.4 Modelo lagrangiano de transporte no fickiano
Puede deducirse una ecuación similar a (2.75) en la que los términos de
dispersión local y de fuente/sumidero de soluto se deducen a partir del enfoque
lagrangiano del movimiento de “partículas” de soluto (Cushman y Ginn, 1993). El
análisis lagrangiano parte de considerar una concentración como un conjunto de
partículas (cada una de ellas con una masa asociada) que se encuentran en un volumen
determinado. Estas partículas se consideran entidades indivisibles, cada una de las
cuales se mueve independientemente de las demás. Si X(t) determina la coordenada de
una partícula con origen X(0) a t = 0, y suponemos que esta partícula se mueve con una
velocidad y aceleración aleatorias:
dX
v()
t
dt
2
d X
a()
t
2
dt
(2.79)
(2.80)
En ese caso, la probabilidad p(x,t) de encontrar una partícula de soluto en la
coordenada x en el instante t, si ésta tiene su origen en X(0)= 0, es:
p
t
v p D ( , , ) ,
0
1
y t p x y t dyd
t
t
D ( , , ) ,
0
2
y t
x-y
p x y t dyd
(2.81)
Las funciones D 1 y D 2 son la inversa de las transformadas de Laplace-Fourier de
las funciones d1( k, ) ( k, t, )
y d2( k, ) ( k, t, )
, respectivamente. El término λ es el
parámetro de la transformada de Laplace, k es el número de onda de la transformada de
Fourier y
( k, t, ) exp i k
X( t) X( t )
(2.82)
Que, para valores pequeños de τ, se simplifica a:
( k, t, ) exp i k
v( t)
(2.83)
Y las funciones d1( k, ) ( k, t, )
y d2( k, ) ( k, t, )
vienen dadas por:
(2.84)
(2.85)
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