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Si consideramos el problema de la difusión unidimensional de una masa M de
soluto, a lo largo del eje x, la solución de la ecuación diferencial nos da la concentración
en los puntos x del medio en cada instante de tiempo t.
2
M x
c ( x,
t)
exp
* *
2 D t 4D t
(2.32)
Aplicando el principio de conservación de la masa M y considerando que la
difusión es unidimensional a lo largo del eje x:
2
M x
c( x,
t)
dx 2
exp
dx
M
* *
0 2 D t 4D t
(2.33)
Para resolver esta ecuación, se emplea el resultado de la integral
0
exp
x
2
1
dx
2
(2.34)
La solución de la ecuación de la difusión, (2.31) es:
c0
c(
x,
t)
2
1
erf
2
x
*
D t
(2.35)
Siendo erf la función de error, que se define como:
x
2
2
( ) exp( )
erf x z dz
0
(2.36)
Un detalle importante a desarrollar ocurre cuando introducimos el
desplazamiento cuadrático medio de la nube de partículas a lo largo del eje:
x
2
1
M
2
x c(
x,
t)
dx
1
*
D t
0
x
2
2
x
exp
dx
*
4D t
(2.37)
Lo que arroja como resultado:
2
2 1 2 x
*
x x exp dx 2D t
* *
Dt 4Dt
0
(2.38)
Esto supone que la contribución de la difusión al desplazamiento de una masa M
de partículas es proporcional a la raíz cuadrada del tiempo.
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