Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

Chapter 1MATEMÁTICAS BÁSICASEste capítulo resume los principales conceptos matemáticos necesarios para el estudio de los lenguajes formales.Entre ellos se incluyen nociones generales como conjuntos, inducción matemática, grafos, árboles yrelaciones binarias. Los conceptos más generales serán tratados someramente, suponiendo un conocimientoprevio de la materia y con el exclusivo fin de fijar un lenguaje común y recordar los aspectos más importantespara estos apuntes.1.1 ConjuntosUn conjunto es, simplemente, una colección de objetos. Por ejemplo, la colección de los dígitos binarios 0 y1 es un conjunto y se denota por {0, 1}. Los objetos que forman un conjunto son llamados sus miembroso elementos. Por ejemplo, 0 es un elemento del conjunto L definido anteriormente; este hecho se expresacomo “0 ∈ L”, y se lee como “0 pertenece a L”. Es usual referirse a ésto con frases como “0 está en L” o “Lcontiene a 0”. Por otro lado, el dígito decimal 2 no es un elemento de L, lo que se denota por 2 ∉ L, y selee “2 no pertenece a L”.En un conjunto, cada objeto sólo puede estar o no estar; no interesan las repeticiones de un objeto. Esdecir, el conjunto {a, b, a} es el mismo conjunto que {a, b}. Similarmente, tampoco interesa el orden de loselementos; por ejemplo, {0, 1, 2}, {2, 0, 1} y {1, 2, 0} son exactamente el mismo conjunto. En resumen, dosconjuntos son iguales (son el mismo conjunto) si y sólo si tienen exactamente los mismos elementos.Hay un conjunto que no tiene miembros. Por supuesto, sólo puede haber un conjunto con esta característica:se le denomina el conjunto vacío y se le denota usualmente por el símbolo ∅. De cualquier otroconjunto se dice que es no vacío, para indicar que sí tiene elementos.Hasta aquí, ha sido posible definir los conjuntos listando todos sus elementos, separados por comas yencerrados entre llaves. Algunos conjuntos no pueden ser descritos de esta manera porque son infinitos,es decir, tienen un número infinito de elementos. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales es unconjunto infinito. De todo conjunto que no es infinito, se dice que es finito.Para describir conjuntos infinitos se hace necesario utilizar un constructor de conjuntos, de la forma:o también{x /P (x)},{x ∈ A/P (x)}.El primero representa al conjunto de todos los objetos para los cuales la proposición P se cumple. Enel segundo caso, se especifica que esos objetos deben ser miembros del conjunto A, y es equivalente a ladefinición:{x /P (x) y x ∈ A}.9