Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

106 CHAPTER 6. PROPIEDADES DE LOS LENGUAJES LIBRES DE CONTEXTOSFigure 6.1: Árbol de derivación para i = 1☞☞☞☞☞☞❇T✟✟✟ ✟AaS◗ ◗◗☞❇❇❇☞❇☞❇☞❇☞1 T 2❇☞B❇❇❇❇Figure 6.2: Árbol de derivación para i ≥ 1k + 2 vértices, todos los cuales, excepto el último, son variables. Debe haber alguna variable que aparece dosveces en ese camino.En realidad se puede precisar más. Alguna variable debe aparecer dos veces cerca del fin del camino. Enparticular, sea P un camino tan largo como el que más en el árbol. Debe haber dos vértices v 1 y v 2 en esecamino, que satisfacen las siguientes condiciones,1. Los vértices v 1 y v 2 tienen la misma etiqueta, A.2. El vértice v 1 está más cerca de la raíz que v 2 .3. El camino entre v 1 y la hoja es de largo k + 1 a lo más.Para ver que v 1 y v 2 existen, basta proceder hacia arriba por el camino P desde la hoja; de los primerosk +2 vértices, sólo la hoja tiene un terminal como etiqueta. Los demás k +1 no pueden tener todos etiquetasdistintas.El subárbol T 1 , con raíz v 1 , representa la derivación de un substring de largo 2 k a lo sumo. Esto es ciertopues P fue el camino más largo de todo el árbol. Sea Z 1 el rédito del árbol T 1 . Si T 2 es el subárbol con raízen v 2 y Z 2 es su rédito, entonces se puede escribir Z 1 como Z 3 Z 2 Z 4 . Además Z 3 y Z 4 no pueden ser ambosε ya que la primera producción usada en la derivación de Z 1 es de la forma A → BC y el subárbol T 2 debeestar completamente dentro del árbol generado de B, o completamente dentro del generado de C.Se sabe queA ∗ ⇒Z 3 AZ 4 y A ∗ ⇒, con |Z 3 Z 2 Z 4 | ≤ 2 k = NPor lo tanto A⇒Z ∗ 3 iAZi 4 , ⇒Z ∗ 3 iZ 2Z4 i para todo i ≥ 0. Claramente, el string Z puede ser escrito comouZ 3 Z 2 Z 4 y para algunos u e y. Si Z 3 = v, Z 2 = w y Z 4 = x, el lema queda demostrado.Este lema de bombeo puede utilizarse para probar que un número de lenguajes no son libres de contexto,utilizando un argumento con adversario similar al usado con el lema de bombeo para lenguajes regulares.✷