Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

96 CHAPTER 5.ACEPTACIÓN Y GENERACIÓN DE LENGUAJES LIBRES DE CONTEXTOA 1 → A 2 A 3A 2 → A 3 A 1 |bA 3 → A 3 A 1 A 3 A 2 |bA 3 A 2 |aSe aplica ahora el segundo lema a las producciones-A 3 , con B 3 , una nueva variable. El resultado esA 1 → A 2 A 3A 2 → A 3 A 1 |bA 3 → bA 3 A 2 B 3 |aB 3 |bA 3 A 2 |aB 3 → A 1 A 3 A 2 |A 1 A 3 A 2 B 3Paso 2: Ahora, todas las producciones-A 3 tienen un lado derecho que comienza con un terminal. Ellos seusan para reemplazar A 3 en A 2 → A 3 A 1 y entonces las producciones para A 2 se usan para reemplazarA 2 en la producción A 1 → A 2 A 3 . El resultado esA 3 → bA 3 A 2 B 3 |aB 3 |bA 3 A 2 |aA 2 → bA 3 A 2 B 3 A 1 |aB 3 A 1 |bA 3 A 2 A 1 |aA 1 |bA 1 → bA 3 A 2 B 3 A 1 A 3 |aB 3 A 1 A 3 |bA 3 A 2 A 1 A 3 |aA 1 A 3 |bA 3B 3 → A 1 A 3 A 2 |A 1 A 3 A 2 B 3Paso 3: Las dos producciones-B 3 se convierten a la forma adecuada, resultando 10 producciones. Se reemplazael lado derecho de las 5 producciones-A 1 por la ocurrencia de A 1 como primer símbolo del ladoderecho de las producciones-B 3 . El resultado esA 3 → bA 3 A 2 B 3 |aB 3 |bA 3 A 2 |aA 2 → bA 3 A 2 B 3 A 1 |aB 3 A 1 |bA 3 A 2 A 1 |aA 1 |bA 1 → bA 3 A 2 B 3 A 1 A 3 |aB 3 A 1 A 3 |bA 3 A 2 A 1 A 3 |aA 1 A 3 |bA 3B 3 → bA 3 A 2 B 3 A 1 A 3 A 3 A 2 |aB 3 A 1 A 3 A 3 A 2 |bA 3 A 2 A 1 A 3 A 3 A 2 |aA 1 A 3 A 3 A 2 |bA 3 A 3 A 2|bA 3 A 2 B 3 A 1 A 3 A 3 A 2 B 3 |aB 3 A 1 A 3 A 3 A 2 B 3 |bA 3 A 2 A 1 A 3 A 3 A 2 B 3 |aA 1 A 3 A 3 A 2 B 3|bA 3 A 3 A 2 B 3una gramática en la forma normal de Greibach, que es equivalente a la original.5.8 Equivalencia entre LLC y Autómatas ApiladoresEn esta sección se probará el resultado fundamental que la clase de lenguajes regulares aceptados por losautómatas apiladores es precisamente la clase de los lenguajes libres de contexto.Primero se verá que los lenguajes aceptados por un AA por estado final son exactamente los lenguajesaceptados por un AA por stack vacío. Luego se muestra que los lenguajes aceptados por stack vacío sonexactamente los lenguajes libres de contexto.Teorema 23 Si L es L(M 2 ) para algún AA M 2 , entonces L en N(M 1 ) para algún AA, M 1 .Demostración : En resumen, se quiere que M 1 simule a M 2 , con la opción para M 1 de vaciar su stack cadavez que M 2 entre a un estado final. Se usa un estado q e de M 1 para vaciar el stack y se usa un marcadordel fondo del stack X 0 de M 1 , para que M 1 no acepte un string en forma accidental si M 2 vacía su stack enun estado no final. Sea M 2 = (Q, Σ, Γ, δ, q 0 , Z 0 , F ) un AA tal que L = L(M 2 ). SeaM 1 = (Q ∪ {q e , q ′ 0}, Σ, Γ ∪ {X 0 }, δ ′ , q ′ 0, X 0 , ∅)con δ ′ definida por1. δ ′ (q ′ 0 , ε, X 0) = {(q 0 , Z 0 X 0 )}2. δ ′ (q, a, Z) incluye los elementos de δ(q, a, Z), ∀q ∈ Q, a ∈ Σ ∪ {ε}, Z ∈ Γ✷