Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

54 CHAPTER 3.ACEPTACIÓN Y GENERACIÓN DE LENGUAJES REGULARES✬ 0☞✬✩★✥✞ ✏ ❄[ c ]✝ ✑★✥1✘✿✫✪✧✦✘ ✘✘ ✘✘✘ 1✻[b, h]★✥ ❄ 0 ✘✿✧✦✘ ✘✘ ✘✘✘ ✲ [a, e] 0 00✧✦ ✐ 1 ★✥✲❄✍[ g ]✧✦✐ 1 ★✥[d, f]1✧✦✫✕ ✻Figure 3.17: AFD buscado, con mínimo número de estadosEs fácil ver que δ ′ está definida en forma consistente, ya que si q ≡ p, entonces δ(q, a) ≡ δ(p, a). Esto es,si δ(q, a) se distingue de δ(p, a) por el string x, entonces ax distingue q de p. Es también fácil mostrar queδ ′ ([q 0 ] , w) = [δ(q 0 , w)] por inducción en |w|. Por lo tanto L(M) = L(M ′ ).Se debe ahora mostrar que M ′ no tiene más estados que el índice de R L , en que L = L(M). Supóngaseque tuviera más estados, entonces habría dos estados accesibles, q y p ∈ Q, tales que [q] ≠ [p]; pero tambiénhay x e y tales que δ(q 0 , x) = q y δ(q 0 , y) = p, con xR L y. Entonces debe ser p ≡ q porque si no, algúnw ∈ Σ ∗ distingue p de q. Pero entonces xwR L yw es falso pues si z = ε exactamente uno de xwz y ywzpertenece a L. Pero R L es invariante por la derecha, así que xwR L yw es verdadero. Por lo tanto, q y p noexisten y M ′ no tiene más estados que el índice de R L . Es decir, M ′ es el AFD mínimo para L.✷3.6 Traductores de Estado FinitoUna restricción de los autómatas finitos, tal como han sido definidos en este capítulo, es que su salida deinformación está limitada a una señal binaria: acepta / no acepta. En esta sección se considerará modelosen que la salida se escoge de algún otro alfabeto. Hay dos enfoques diferentes; la salida está asociada con elestado (llamado una Máquina de Moore) o con las transiciones (llamado una Máquina de Mealy).Una Máquina de Moore es una séxtupla (Q, Σ, ∆, δ, λ, q 0 ), en que Q, Σ δ y q 0 son como en los autómatasfinitos determinísticos. ∆ es el alfabeto de salida y λ es una función de Q → ∆, indicando el output asociadoa cada estado.El output de estas máquinas en repuesta a un string de entrada a 1 a 2 . . . a N , N ≥ 0, es λ(q 0 )λ(q 1 ) . . . λ(q N ),en que q 1 q 2 . . . q N es la secuencia de estados tales que δ(q i−1 , a i ) = q i , para 1 ≤ i ≤ N. Nótese que todamáquina de Moore da output λ(q 0 ) en respuesta al string ε.Un AFD puede ser visto como un caso especial de una máquina de Moore, en que el alfabeto de salida,∆, es {0, 1} y un estado q es de aceptación si y sólo si λ(q) = 1.Ejemplo 52 Suponga que se desea determinar el resto en módulo 3 de cada string binario, tratado comoun entero. Observe que si i, escrito en binario, es seguido por un 0, el string tiene valor 2i; si el binario i es