Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

22 CHAPTER 1.MATEMÁTICAS BÁSICASTal como una relación de equivalencia en S particiona a este conjunto en sus clases de equivalencia,también es cierto que toda partición 2 de un conjunto, induce una relación de equivalencia en él. En efecto,la relación de equivalencia inducida es:{(a, b)/a y b pertenecen al mismo subconjunto en la partición }.1.4.3 ClausurasSi P es un conjunto de propiedades de relaciones, la clausura-P de una relación R, es la relación más pequeñaque incluye a R y que tiene las propiedades en P. No cualquier conjunto de propiedades es posible. Porejemplo, no cualquier relación tiene clausura irrefleja. Sin embargo, toda relación binaria tiene clausura conrespecto a cualquier combinación de reflexividad, simetría y transitividad.Dos clausuras serán especialmente importantes para estos apuntes. La primera de ellas, la clausuratransitiva de una relación R, denotada como R + , se puede definir de la siguiente manera:• Si aRb, entonces aR + b.• Si aR + b y bR + c, entonces aR + c.• Nada más pertenece a R + .Es simple mostrar que la relación así definida es en realidad la relación más pequeña que incluye a R y estransitiva, es decir, que es su clausura transitiva.La segunda clausura que interesará es la clausura refleja y transitiva de una relación R en un conjuntoS. Esta relación, denominada R∗, se puede definir en forma análoga a la anterior. Sin embargo, es tambiénfácil ver que correponde al conjunto:R ∗ = R + ∪ {(a, a)/a ∈ S}Ejemplo 19 Sea R = {(a, b), (b, b), (b, c)}, una relación en el conjunto S = {a, b, c}. Entonces sus clausurastransitiva, refleja y transitiva son:R + = {(a, b), (a, c), (b, b), (b, c)}R ∗ = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, b), (b, c), (c, c)}Los grafos dirigidos que representan las relaciones R, R + , y R ∗ , se muestran, en ese orden, en laFigura 1.5.✷2 Una partición de un conjunto A es un subconjunto de su conjunto potencia, esto es, un conjunto de sus subconjuntos. Cadasubconjunto de A en una partición es no vacío. Además, dos subconjuntos distintos cualesquiera son disjuntos y la unión detodos ellos forma el conjunto A. Es decir, cada elemento de A está en exactamente uno de los subconjuntos, y cada uno deellos contiene al menos un elemento de A.