TeorÂ´Ä±a de AutÃ³matas y Lenguajes Formales

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8.2. MÁQUINA DE TURING UNIVERSAL 143w✲M✲SI◗ ◗◗◗SIX✲Mu✲SI✑ ✑✑✑✸M ′Figure 9.5: Construcción de M ′< M, w > ✲M ′B✲MNR✲SI✲SIFigure 9.6: Máquina de Turing que acepta L uLos ejemplos anteriores muestran que no es decidible si el conjunto aceptado por una MT es vacío orecursivo. La técnica usada en las demostraciones se puede usar para probar que no se puede decidir si elconjunto aceptado es finito, infinito, regular, libre de contexto, tiene un número par de strings o satisfacemuchos otros predicados.¿Qué puede ser decidido entonces sobre los conjuntos aceptados por una máquina de Turing? Sólo lospredicados triviales, tales como ¿Acepta una MT un lenguaje enumerable recursivamente? que son verdaderospara todas las MT o falsos para todas ellas.En lo que sigue se discutirán lenguajes que representan propiedades de los lenguajes enumerables recursivamente.Esto es, los lenguajes son conjuntos de códigos de MT tales que la pertenencia de < M > en ellenguaje depende sólo de L(M) y no de M misma. Más adelante se considerarán lenguajes de códigos deMT que dependen de la MT misma, como “M tiene 27 estados”, que pueden ser satisfechos para algunas,pero no todas las MT que aceptan un lenguaje dado.Sea I un conjunto de lenguajes enumerables recursivamente, cada uno sobre {0, 1}. I es una propiedadde los lenguajes enumerables recursivamente. Un conjunto L tiene la propiedad I, si L ∈ I. Por ejemplo,la propiedad de ser infinito es {L/L es infinito }. I es una propiedad trivial si es vacío o consiste de todoslos lenguajes enumerables recursivamente. Sea L I el conjunto {< M > /L(M) ∈ im}.Teorema 47 (Teorema de Rice) Cualquier propiedad no trivial I de los lenguajes enumerables recursivamenteno es decidible.Demostración : Sin perder generalidad se asume que φ ∉ I (si no, considérese I). Como I es no trivial,existe L con propiedad I. Sea M L una MT que acepta L. Suponga que I fuera decidible. Entonces existeun algoritmo M I que acepta L I . Se usa M L y M I para construir un algoritmo para L u . Primero seconstruye un algoritmo A que toma < M, w > y produce < M ′ >, en que L(M ′ ) ∈ I si y sólo si M aceptaw (< M, w >∈ L u ). (Ver Figura 9.7).Primero M ′ ignora su input y simula M en w. Si M no acepta w, M ′ no acepta X. Si M acepta w, M ′simula M L en X y acepta X si y sólo si M L acepta X. Luego M ′ acepta φ o L, dependiendo de si M acepta
144 PROPIEDADES DE L. ENUMERABLES RECURSIVAMENTE Y RECURSIVOSw ✲MSI✲✲M L✲SI✲SIXM ′Figure 9.7: construcción de M ′ , correspondiente a la demostración del Teorema de Ricew.Se puede usar el algoritmo hipotético M I para determinar si L(M ′ ) ∈ I. Como L(M ′ ) ∈ I si y sólosi < M, w >∈ L u , se tiene un algoritmo que reconoce L u , una contradicción. Por lo tanto, I debe ser nodecidible. Note cómo esta demostración generaliza el ejemplo 91.Este teorema tiene varias consecuencias, algunas de las cuales se resumen en el siguiente corolario:Corolario 4 Las siguientes propiedades de los conjuntos enumerables recursivemente no son decidibles:1. Ser vacío2. Ser finito3. Ser regular4. Ser libre de contexto¿Implica el teorema anterior que cualquier cosa sobre las MT es no decidible? La respuesta es NO. Esteteorema sólo tiene que ver con propiedades de los lenguajes aceptados, no con propiedades de las máquinasde Turing mismas. Por ejemplo, el problema: ¿Tiene una MT dada un número par de estados?, es claramentedecidible. Al tratar propiedades de las MT mismas se debe usar el ingenio.✷
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