Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

5.7. FORMAS NORMALES 93S → C b A|C a BS → C b D 1 |C a S|aB → C a D 2 |C b S|bC a → aC b → bD 1 → AAD 2 → BBque está en la forma normal de Chomsky.Ahora se verá otra forma normal que utiliza producciones cuyo lado derecho comienza con un terminalseguido, posiblemente, por variables. Primero se presentan dos lemas que dicen que es posible modificar lasproducciones de una gramática en ciertas formas, sin alterar el lenguaje que genera.Lema 5 Se define una producción-A como una producción que tiene la variable A en su lado izquierdo.Sea G = (V, T, P, S) una gramática libre de contexto. Sea A → α 1 Bα 2 una producción en P y sean B →β 1 |β 2 | . . . |β N todas las producciones-B de P . Sea G 1 = (V, T, P 1 , S), obtenida al eliminar la producciónA → α 1 Bα 2 de P y agregando las producciones A → α 1 β 1 α 2 |α 1 β 2 α 2 | . . . |α 1 β N α 2 . Entonces L(G) = L(G 1 ).Demostración : Es claro que L(G 1 ) ⊆ L(G), ya que si A → α 1 β i α 2 es usada en alguna derivación en G 1 ,entonces A ⇒ Gα 1 Bα 2⇒G α 1 β i α 2 puede usarse en G. Para ver que L(G) ⊆ L(G 1 ) basta notar que A → α 1 Bα 2 esla única producción de G que no está en G 1 . Sin embargo, si A → α 1 Bα 2 es usada en alguna derivación enG, la variable B debe ser reescrita posteriormente usando alguna de las producciones B → β i , ya que ellasson todas las producciones-B en P . Estos dos pasos pueden entonces reemplazarse por el paso A ⇒ G 1α 1 β i α 2 .Lema 6 Sea G = (V, T, P, S) una gramática libre de contexto. Sean A → Aα 1 |Aα 2 | . . . |Aα N el conjuntode producciones-A en que A es el símbolo de más a la izquierda en el lado derecho de la producción. SeanA → β1|β2| . . . |βN las restantes producciones-A de P . Sea G 1 = (V ′ , T, P 1 , S) la gramática formadaal agregar la variable B a V (V ′ = V ∪ B) y al reemplazar todas las producciones-A por las siguientesproduccionesA → β i B → α iA → β i B (1 ≤ i ≤ m) B → α i B (1 ≤ i ≤ N)Entonces L(G 1 ) = L(G).Demostración : En una derivación por la izquierda, una secuencia de producciones de la forma A → Aα idebe eventualmente terminar con una de la forma A → β j . La secuencia de pasos en G,A ⇒ Aα i1 ⇒ Aα i2 α i1 ⇒ . . . ⇒ Aα il α il−1 . . . α i1 ⇒ β j α ip α ip−1 . . . α i1puede reemplazarse por la secuencia en G 1A ⇒ β j B ⇒ β j α ip B ⇒ βjα ip α ip−1 B ⇒ . . . ⇒β j α ip α ip−1 . . . α i2 ⇒ β j α ip α ip−1 . . . α i1✷✷✷La transformación inversa también puede hacerse. Por lo tanto, L(G) = L(G 1 ). La Figura 5.9 ilustra estatransformación usando árboles de derivación. Se ve que una cadena de A’s extendiéndose hacia la izquierdaen G se reemplaza por una de B’s que se extiende hacia la derecha en G 1 .Teorema 22 (Forma Normal de Greibach) Todo lenguaje libre de contexto L, sin ε, puede ser generadopor una gramática libre de contexto en que cada producción es de la forma A → aα, en que A es una variable,a es un terminal y α es un string (posiblemente vacío) de variables.