Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

3.4. TEOREMA DE MYHILL-NERODE. 49Teorema 3 Las siguientes tres aserciones son equivalentes:1. El conjunto L ⊆ Σ ∗ es aceptado por un AF.2. L es la unión de algunas de las clases de equivalencia de una relación de equivalencia invariante porla derecha, de índice finito.3. Sea R L una relación de equivalencia definida por xR L y ssi para todo z ∈ Σ ∗ , xz ∈ L precisamentecuando yz ∈ L. Entonces R L tiene índice finito.Demostración :Se probará que 1 ⇒ 2, 2 ⇒ 3 y 3 ⇒ 1, demostrando la equivalencia de las tres aserciones.(1 ⇒ 2) Asuma que L es aceptado por un AFD, M = (Q, Σ, δ, q 0 , F ). Sea R M la relación de equivalenciaxR M y si y sólo si δ(q 0 , x) = δ(q 0 , y). R M es invariante por la derecha ya que para todo z, si δ(q 0 , x) =δ(q 0 , y) entonces δ(q 0 , xz) = δ(q 0 , yz). El índice de R M es finito ya que es, a lo sumo, el número deestados en Q. Además L es la unión de aquellas clases de equivalencia tales que incluyen un string wcon δ(q 0 , w) ∈ F , esto es, las clases que corresponden a estados finales.(2 ⇒ 3) Se muestra que cualquier relación de equivalencia E, que satisface 2 es un refinamiento de R L ; es decir,cada clase de equivalencia de E está enteramente contenida en alguna de las clases de equivalenciasde R L . Por lo tanto el índice de R L no puede ser mayor que el de E y, por lo tanto, es finito.Asuma que xEy; entonces, ya que E es invariante por la derecha, para cada z ∈ Σ ∗ , xzEyz y, porlo tanto, yz ∈ L si y sólo si xz ∈ L. Por lo tanto, xR L y y entonces la clase de equivalencia quecontiene a x en E, está contenida en la clase de equivalencia de x en R L . Se concluye que cada clasede equivalencia de E está contenida completamente por una de las clases de equivalencia de R L .(3 ⇒ 1) Primero se mostrará que R L es invariante por la derecha. Suponga que xR L y y sea w un string enΣ ∗ . Se debe probar que xwR L yw; esto es, para todo z ∈ Σ ∗ , xwz ∈ L precisamente cuando ywz ∈ L.Pero ya que xR L y, se sabe por la definición de R L que para todo v, xv ∈ L, precisamente cuandoyv ∈ R L . En particular, sea v = wz para probar que R L es invariante por la derecha.Sea Q ′ el conjunto finito de clases de equivalencia de R L y sea [x] el elemento de Q ′ que contiene alstring x. Defina δ ′ ([x] , a) = [xa]. La definición es consistente ya que R L es invariante por la derecha. Sise hubiese elegido y en lugar de x de la clase [x], se obtendría δ ′ ([x] , a) = [ya]. Pero xR L y, por lo tantoxz ∈ L precisamente cuando yz ∈ L. En particular, si z = az ′ , xaz ′ ∈ L precisamente cuando yaz ′ ∈ L,es decir, xaR L ya y [xa] = [ya]. Sea q ′ 0 = [ε] y sea F ′ = {[x] /x ∈ L}. El AF M ′ = (Q ′ , Σ, δ ′ , q ′ 0, F ′ )acepta L ya que δ ′ (q ′ 0 , x) = [x] y por lo tanto x ∈ L(M ′ ) si y sólo si [x] está en F ′ .Ejemplo 50 Sea L el lenguaje 0 ∗ 10 ∗ . L es aceptado por el siguiente AFD, M.Considere la relación R M definida por M. Como todos los estados son alcanzables desde el estado inicial,R M tiene seis clases de equivalencia:C a = (00) ∗ C d = (00) ∗ 01C b = (00) ∗ 0 C e = 0 ∗ 100 ∗C c = (00) ∗ 1 C f = 0 ∗ 10 ∗ 1(0 + 1) ∗El lenguaje L es la unión de C c , C d y C e .La relación R L para el lenguaje L tiene tres clases de equivalencia; xR L y si y sólo si• x e y no tienen 1’s, ambos.• x e y tienen un solo 1, cada uno.• x e y tienen más de un 1, ambos.✷