Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

104 CHAPTER 5.ACEPTACIÓN Y GENERACIÓN DE LENGUAJES LIBRES DE CONTEXTOen que P 1 contiene todas las producciones de P con una variable de C ad o C bc ya sea en su lado izquierdo oderecho, y P 2 todas aquéllas con una variable de C ad o C bc ya sea en su lado izquierdo o derecho. AdemásP 1 contiene todas las producciones en P , de la forma S → a N b N c M d M , N ≠ M; y P 2 todas aquéllas de laforma S → a N b M c M d N , N ≠ M. Producciones de la forma S → a N b N c N d N no están ni en P 1 ni en P 2 . Yaque G genera{a N b N c M d M /N ≥ 1 y M ≥ 1} ∪ {a N b M c M d N /N ≥ 1 y M ≥ 1},G 1 debe generar todas las sentencias en{a N b N c M d M /N ≥ 1, M ≥ 1 y N ≠ M}más, posiblemente, algunos strings en a N b N c N d N /N ≥ 1, y G 2 debe generar todos los strings en{a N b M c M d N /N ≥ 1, M ≥ 1 y N ≠ M}más, posiblemente, algunos strings en {a N b N c N d N /N ≥ 1}. Se muestra que esto no puede ser así a menosque G 1 y G 2 generen ambas todos, excepto un conjunto finito de strings en {a N b N c N d N /N ≥ 1}. Por lotanto todos, excepto un número finito de strings en {a N b N c N d N /N ≥ 1} son generados por G 1 y G 2 y tienenentonces dos derivaciones diferentes en G. Esto contradice la hipótesis de que G no era ambigua, como sequería.Para ver que G 1 y G 2 generan todos, excepto un número finito, de strings en {a N b N c N d N /N ≥ 1}, senumera las producciones de P 1 de la forma S → α, de 1 a r. Para 1 ≤ i ≤ r, si S → α es la i-ésimaproducción, sea N i el conjunto de todos los N tales queS ⇒ G 1α ∗ ⇒ G1 a N b N c M d Mpara algún M, y sea M i el conjunto de todos los M tales queS ⇒ G 1α ∗ ⇒ G1 a N b N c M d Mpara algún N. Es fácil probar que para cualquier N ∈ N i y M ∈ M iS ⇒ G 1α ∗ ⇒ G1 a N b N c M d M(Recuerde que las variables de α están en C ab o C cd ). De donde se concluye, por el lema inicial, que G 1 debegenerar todas, excepto un número finito, las sentencias en {a N b N c N d N /N ≥ 1}. Un argumento similar esaplicable a G 2 . (Ver en el libro).✷