Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

86 CHAPTER 5.ACEPTACIÓN Y GENERACIÓN DE LENGUAJES LIBRES DE CONTEXTOEl rédito de ese árbol es: aabbaa. Nótese que en este caso todas las hojas tienen etiquetas que sonterminales; pero esto no es necesario, podría haber hojas con etiqueta ε o con una variable.Nótese que S⇒ ∗ G aabbaa por la derivación siguiente:S ⇒ aAS ⇒ aSbAS ⇒ aabAS ⇒ aabbaS ⇒ aabbaaLa Figura 5.5 es un subárbol del árbol de derivación anterior; corresponde al vértice 3 el árbol original ysus descendientes.✚✚✚SA❩ ❩❩❩b Aab❅❅❅aFigure 5.5: Vértice 3 del subárbol originalEl rédito de este subárbol es abba. La etiqueta de su raíz es a y A ∗ ⇒ G abba a través de la siguientederivación:A ⇒ SbA ⇒ abA ⇒ abbaTeorema 17 Sea G = (V, T, P, S) una gramática libre de contexto. Entonces S ∗ ⇒ G α si y sólo si hay unárbol de derivación para G cuyo rédito sea α.Demostración : Se probará algo un poco más general, que para cualquier A ∈ V , A⇒α ∗ si y sólo si existeun árbol-A cuyo rédito sea α.Suponga primero que α es el rédito de un árbol-A. Se prueba, por inducción en el número de vérticesinteriores en el árbol, que A⇒α. ∗ Si hay un solo nodo interior, el árbol debe lucir como el de la Figura 5.6.A✟ ❍✟✟✟ ✂ ❍❍❍❍✂✂X 1 X 2 ... X NFigure 5.6: Árbol de derivación con un solo nodo interiorEn ese caso, X 1 , X 2 , . . . , X n debe ser α y A → α debe ser una producción de P , por la definición de unárbol de derivación. Luego, A ⇒ α.Supóngase ahora que el resultado es válido para árboles con hasta k − 1 nodos interiores. Sea α el réditode un árbol-A con k nodos interiores, para algún k > 1. Considere los hijos de la raíz; no pueden sertodos hojas ya que k > 1. Sean las etiquetas de los hijos X 1 , X 2 , . . . , X n , desde la izquierda. EntoncesA → X 1 X 2 . . . X n es una producción en P . Note que en la discusión siguiente n ≥ 1.Si el i-ésimo hijo no es una hoja, es la raíz de un subárbol y X i ∈ V . El subárbol debe ser un árbol-X iy tendrá algún rédito α i . Si el vértice i es una hoja, sea α i = X i . Es fácil ver que si j < i, el vértice j y sus✷