Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

28 CHAPTER 2. LENGUAJES FORMALES2.2.3 Subpalabras, Prefijos y SufijosUna palabra es una subpalabra de otra palabra, cuando sus símbolos aparecen entre los símbolos de lasegunda, en forma consecutiva y en el mismo orden; es decir cuando un trozo contiguo de la segunda es iguala la primera. Formalmente, una palabra v se dice una subpalabra de otra palabra w, si y sólo si existendos palabras x e y sobre el alfabeto, tales que w = x ◦ v ◦ y. En la definición anterior, cualquiera de laspalabras x e y, o ambas, puede ser la palabra nula. Por lo tanto, si x = y = ε, se concluye que toda palabraes una subpalabra de sí misma. También , si se considera que x = w y que v = y = ε, se ve que la palabranula es una subpalabra de todas las palabras. Cuando la subpalabra es tal que sus símbolos aparecen alcomienzo de la otra palabra, se le llama un prefijo de ésta última. Si aparecen al final, se le llama un sufijo.Intuitivamente, una palabra es un prefijo de otra, cuando ésta comienza con aquélla; será un sufijo cuandotermina con ella. Formalmente, si w = u ◦ v para alguna palabra u sobre el alfabeto, v se dice un sufijo dew. En forma similar, si w = u ◦ v para alguna palabra v, u se dice un prefijo de w. Según estas definiciones,cada palabra es un sufijo, prefijo y subpalabra de sí misma. Un sufijo, prefijo o subpalabra que no sea lapalabra misma se llama un sufijo, prefijo o subpalabra propia. Debe notarse que la palabra vacía es un sufijo,prefijo y subpalabra propia de todas las palabras, excepto de sí misma.Ejemplo 23PUES es un prefijo de PUESTOS.PUES es un sufijo de DESPUES.PUES es una subpalabra de PUESTOS, DESPUES y también de APUESTA.Es interesante notar que en una palabra puede haber varias ocurrencias de una misma subpalabra. Porejemplo, la palabra binaria 101010 tiene tres ocurrencias de las subpalabras 0, 1 y 10, y dos ocurrenciasde las subpalabras 01, 010, 101, 1010. Una ocurrencia incluye, además de la subpalabra que interesa, unaposición dentro de la palabra que indica donde comienza esa instancia de la subpalabra.2.2.4 ReversoOtra función interesante entre palabras sobre un alfabeto, es la función conocida como el reverso de unapalabra. Intuitivamente, esta función transforma la palabra dada como argumento, en la palabra formadapor los mismos símbolos pero en orden inverso. Formalmente, el reverso de una palabra w, denotada comow r , se define por las siguientes reglas:• ε r = ε• Para todo símbolo a ∈ Σ y toda palabra x sobre Σ : (ax) r = x r ◦ aÉste es otro ejemplo de una definición inductiva. La primera regla define cuál es el reverso de la palabranula; la segunda, indica cómo determinar el reverso de una palabra compuesta por la anteposición de unsímbolo a otra palabra sobre el alfabeto 2 . En esta última regla, a aparece como un símbolo en el lado izquierdoy como una palabra en el lado derecho de la igualdad. El Ejemplo 24 muestra como es posible aprovecharlas definiciones inductivas para demostrar ciertas propiedades de las palabras, utilizando el principio deinducción matemática. En particular, se prueba que el reverso de la concatenación de dos palabras es lomismo que la concatenación, en orden inverso, de los reversos de las palabras originales.Ejemplo 24 Se muestra que para todo par de palabras x e y, sobre un alfabeto Σ cualquiera, se cumple lasiguiente relación:(x ◦ y) r = y r ◦ x r .2 Nótese el parecido de la definición con la forma en que se podría implementar esta función utilizando el lenguaje deprogramación LISP: (defun reverso (x)(cond ((null x) x)(t (append (reverso (cdr x))(list (car x))))))✷