TeorÂ´Ä±a de AutÃ³matas y Lenguajes Formales

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5.8. EQUIVALENCIA ENTRE LLC Y AUTÓMATAS APILADORES 973. ∀q ∈ F y Z ∈ Γ ∪ {X 0 }, δ ′ (q, ε, Z) contiene (q e , ε)4. ∀Z ∈ Γ ∪ {X 0 }, δ ′ (q e , ε, Z) contiene (q e , ε)La regla (1) hace que M 1 entre la descripción instantánea inicial de M 2 , excepto que M 1 tendrá su propiomarcador, X 0 , al fondo del stack. La regla (2) le permite a M 1 simular las movidas de M 2 . Si M 2 entraalguna vez a un estado final, las reglas (3) y (4) le permiten a M 1 la elección de entrar al estado q e y vaciarsu stack (por lo tanto, aceptando el input) o de continuar simulando a M 2 . Se debe notar que M 2 podríavaciar su stack para algún string X que no está en L(M 2 ). Por esta razón M 1 tiene una marca propia alfondo del stack. Si no M 1 , simulando a M 2 , podría vaciar su stack y aceptar X cuando no debiera.Sea X ∈ L(M 2 ). Entonces (q 0 , X, Z 0 ) ⊢ M 2∗(q, ε, γ) para algún q ∈ F . Considere M1 con el string X. Porregla (1)(q ′ 0, X, X 0 ) ⊢ M 1(q 0 , X, Z 0 X 0 )por regla (2), todas las movidas de M 2 son legales en M 1 , por lo tanto(q 0 , X, Z 0 ) ⊢ M 1∗(q, ε, γ)Si un AA puede hacer una secuencia de movidas desde una descripción instantánea dada, también puedehacer la misma secuencia de movidas desde cualquier DI obtenida de la primera insertando un string desímbolos del stack bajo el contenido original. Por lo tanto(q ′ 0, X, X 0 ) ⊢ M 1(q 0 , X, Z 0 X 0 ) ⊢ (q, ε, γX 0 )Por las reglas (3) y (4), porque q ∈ F ,(q, ε, γX 0 ) ⊢ M 1∗(qe , ε, ε)Por lo tanto,(q ′ 0, X, X 0 ) ⊢ M 1∗(qe , ε, ε)y así, M 1 acepta X por stack vacío, es decir, X ∈ N(M 1 ).En el otro sentido, si M 1 acepta X por stack vacío, es fácil mostrar que la secuencia de movidas debe seruna movida por regla (1), luego una secuencia por regla (2) en que M 1 simula la aceptación de X por M 2 ,seguido del vaciamiento del stack de M 1 usando reglas (3) y (4). Por lo tanto X debe estar en L(M 2 ).Teorema 24 Si L es N(M 1 ) para algún AA M 1 , entonces L es L(M 2 ) para algún AA, M 2 .Demostración : Ahora se quiere que M 2 simule a M 1 y pueda detectar cuando M 1 vacía su stack. Lamáquina M 2 entra a un estado final cuando y sólo cuando esto sucede. Sea M 1 = (Q, Σ, Γ, δ, q 0 , Z 0 , ∅) unAA tal que L = N(M 1 ). SeaM 2 = (Q ∪ {q ′ 0 , q f }, Σ, Γ ∪ {X 0 }, δ ′ , q ′ 0 , X 0, {q f })en que δ ′ se define como sigue1. δ ′ (q ′ 0 , ε, X 0) = {(q 0 , Z 0 X 0 )}2. ∀q ∈ Q, a ∈ Σ ∪ {ε} y Z ∈ Γ: δ ′ (q, a, Z) = δ(q, a, Z)3. ∀q ∈ Q, δ ′ (q, ε, X 0 ) contiene (q f , ε)✷
98 CHAPTER 5.ACEPTACIÓN Y GENERACIÓN DE LENGUAJES LIBRES DE CONTEXTOLa regla (1) hace que M 2 entre la DI inicial de M 1 , excepto que M 2 tendrá su propio marcador X 0 , bajolos símbolos que M 1 tendría en su stack. La regla (2) permite que M 2 simule M 1 . Si alguna vez M 1 vaciarasu stack completamente, entonces M 2 , al simular a M 1 , vaciará su stack excepto por el símbolo X 0 puestoal fondo. La regla (3) hace entonces que M 2 , al aparecer X 0 , entre a su estado final, aceptando el string. Laprueba de que L(M 2 ) = N(M 1 ) es similar a la del teorema anterior.Teorema 25 Si L es un lenguaje libre de contexto, existe un AA, M, tal que L = N(M).Demostración : Se asume que ε ∉ L(G). La construcción es muy similar cuando ε ∈ L(G). Sea G =(V, T, P, S) una gramática libre de contexto en la forma normal de Greibach que genere L. SeaM = ({q}, T, V, δ, q, S, ∅)en que δ(q, a, A) contiene (q, γ) si y sólo si A → aγ es una producción en P .El AA, M, simula derivaciones por la izquierda en G. Como G está en la forma normal de Greibach,cada forma sentencial en una derivación por la izquierda consiste de un string de terminales X, seguido deun string de variables α. M almacena el sufijo α de la forma sentencial en su stack después de procesar elprefijo X.Formalmente, se muestra queS ∗ ⇒Xαsi y sólo si(q, X, S) ⊢ M∗(q, ε, α)por una derivación por la izquierdaPrimero, suponga que (q, X, S) ⊢ Mi(q, ε, α); se muestra, por inducción en i, que S∗⇒Xα. La base, i = 0,es trivial ya que X = ε y α = S. Para la inducción se asume que i ≥ 1 y sea X = Y a. Considérese elpenúltimo paso:(q, Y a, S) i−1⊢ (q, a, β) ⊢ (q, ε, α)si se remueve a desde el final del string de entrada en las primeras i DI’s de la secuencia, se descubre que(q, Y, S) i−1⊢ (q, ε, β)ya que a no puede afectar las movidas de M hasta que es realmente eliminado del input. Por la hipótesisde inducción, S ∗ ⇒Y β. La movida (q, a, β) ⊢ (q, ε, α) implica que β = Aγ para algún A ∈ V , A → aη es unaproducción de G y α = ηγ. Por lo tantoS ∗ ⇒Y β ⇒ Y aηγ = XαAhora supóngase que S i ⇒Xα por una derivación por la izquierda. Se muestra, por inducción en I, que(q, X, S) ∗ ⊢(q, ε, α). La base, i = 0, es trivial nuevamente. Sea i ≥ 1 y suponga queS i−1⇒Y Aγ ⇒ Y aηγen que X = Y a y α = ηγ. Por la hipótesis de inducción(q, Y, S) ∗ ⊢(q, ε, Aγ)y por lo tanto (q, Y a, S) ∗ ⊢(q, a, Aγ). Ahora, como A → aη es una producción, se deduce que δ(q, a, A)contiene (q, η). Por lo tanto(q, X, S) ∗ ⊢(q, a, Aγ) ⊢ (q, ε, α)Esto concluye la demostración del teorema. Basta notar que si α = ε, S ∗ ⇒X si y sólo si (q, X, S) ∗ ⊢(q, ε, ε).Esto es, X ∈ L(G) ssi X ∈ N(M).✷
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