Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

3.6. TRADUCTORES DE ESTADO FINITO 55★✥0 ✎ 1★✥☞1 ✗ 0★✥☞2❄❄✲ 0 1 2✲✎ ✧✦ ☞✻✍✧✦✌ ✻✍✲☛ ✧✦✌ ✟10✚ ✙✚ ✙0 1seguido por un 1, su valor es 2i + 1. Además, si el resto de i/3 es p, el resto de 2i/3 es 2p mod 3. Si p = 0,1 ó 2, 2p mod 3 es 0, 2 ó 1, respectivamente.∆ = {0, 1, 2}λ(i) = iSi el string de entrada es 1010, el autómata entra a los estados 0–1–2–2–1 y produce el output 01221.Esto es, ε (que se ha supuesto, vale cero), tiene residuo 0, 1 tiene residuo 1, 2 decimal (10 binario) tieneresiduo 2, 101 (5 en decimal) tiene residuo 2 y, finalmente, 1010 (10 en decimal) tiene residuo 1.Una máquina de Mealy es también una séxtupla (Q, Σ, ∆, δ, λ, q 0 ), en que todo es como en las máquinasde Moore, excepto que λ va de Q × Σ a ∆. Es decir, λ(q, a) es el output asociado con la transición desde elestado q en símbolo a.El output de estas máquinas en respuesta al string de entrada a 1 a 2 . . . a N es λ(q 0 , a 0 )λ(q 1 , a 1 ) . . . λ(q N , a N ),donde q 1 q 2 . . . q N es la secuencia de estados tales que δ(q i−1 , a i ) = q i (1 ≤ i ≤ N). Obsérvese que el stringde salida tiene longitud N, y no N + 1 como en la máquina de Moore; y que si el string de entrada es ε, unamáquina de Mealy tiene salida ε.Ejemplo 53 Considere el lenguaje (0+1) ∗ (00+11) de todos los strings binarios cuyos últimos dos símbolosson iguales. En el próximo capítulo se verán técnicas que permiten demostrar que 5 estados son necesariospara un AFD que lo acepte. Sin embargo se puede definir una máquina de Mealy con 3 estados, que usa susestados para recordar el último símbolo leído y que emite una S cuando el símbolo actual es igual al previo,en otro caso, emite una N. La secuencia de S’s y N’s emitida corresponde a la secuencia de estados deaceptación y no-aceptación en los que entraría un AFD. hay una diferencia, la máquina de Mealy no emiteantes de ver un input, mientras el AFD habría rechazado el string ε con q 0 ∉ F .Sea M una máquina de Mealy o de Moore y definimos T M (w) como el output producido por M si elstring de entrada es w. Es claro que no puede haber identidad exacta entre las funciones T M y T M ′(w) siuna de M o M ′ es una máquina de Mealy (M) y la otra de Moore (M ′ ), ya que uno de los string de salidaserá más corto. Sin embargo, es posible despreciar la respuesta de la máquina de Moore si la entrada es ε,y decir que una máquina de Mealy, (M), y una máquina de Moore, (M ′ ), son equivalentes si para todoslos strings de entrada w, bT M (w) = T M ′(w), en que b es el output de M ′ en su estado inicial. Es posible,entonces, probar los siguientes teoremas que igualan ambos modelos:Teorema 6 Si M 1 = (Q, Σ, ∆, δ, λ, q 0 ) es una máquina de Moore, hay una máquina de Mealy, M 2 , equivalentea M 1 .Demostración : Sea M 2 = (Q, Σ, ∆, δ, λ ′ , q 0 ) y defínase la función λ ′ comoλ ′ (q, a) = λ(δ(q, a))para todo estado q ∈ Q y símbolo a ∈ Σ. Entonces M 1 y M 2 pasan por la misma secuencia de estados, enigules inputs y, en cada transición, M 2 emite el output que M 1 asocia con el estado al que entra.✷✷