Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

Chapter 8PROPIEDADES DE LOSLENGUAJES ENUMERABLESRECURSIVAMENTE YRECURSIVOS8.1 Algunas PropiedadesUn número de teoremas se demuestran reduciendo un problema a otro. Estas reducciones envuelven el uso devarias MT para formar una máquina compuesta. El estado de una MT compuesta tiene una componente porcada máquina individual. Similarmente, la máquina compuesta tiene cintas separadas para cada máquina.Los detalles son tediosos y aportan poco, por lo que las construcciones se describirán en forma más bieninformal.Dado un algoritmo (MT que siempre se detiene), se puede permitir que la máquina compuesta hagauna acción si el algoritmo acepta y otra si no acepta. Esto no se puede hacer si en lugar de un algoritmose tuviera una MT arbitraria, ya que si la MT no acepta puede no detenerse y, por lo tanto, la máquinacompuesta nunca iniciaría su siguiente tarea.Teorema 42 El complemento de un lenguaje recursivo es recursivo.Demostración : Sea L un lenguaje recursivo y M una MT que siempre se detiene y que acepta L. Seconstruye M ′ , a partir de M, de tal forma que si M entra a un estado final en input w, entonces M ′ sedetiene sin aceptar. Si M se detiene sin aceptar, M ′ entra a un estado final. Ya que siempre sucede unode estos dos eventos, M ′ es un algoritmo. Claramente L(M ′ ) es el complemento de L y, por lo tanto, elcomplemento de L es un lenguaje recursivo. La Figura 8.1 ilustra la construcción de M ′ .Teorema 43 La unión de dos lenguajes recursivos es recursivo. La unión de dos lenguajes enumerablesrecursivamente es enumerable recursivamente.Demostración : Sean L 1 y L 2 lenguajes recursivos aceptados por los algoritmos M 1 y M 2 . Se construyeM, que primero simula M 1 . Si M 1 acepta, M acepta. Si M 1 rechaza, M simula M 2 y acepta si y sólo si M 2acepta. Ya que tanto M 1 como M 2 son algoritmos, M se detendrá. Claramente M acepta L 1 ∪ L 2 . (VerFigura 8.2).133✷