Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

4.3. ALGORITMOS DE DECISIÓN 73puede escribir w = w 1 w 2 w 3 con 1 ≤ |w 2 | ≤ N y w 1 w 3 ∈ L(M). Por lo tanto, ya sea w no fue el más cortostring de largo 2N o más, o |w 1 w 3 | está entre N y 2N − 1, una contradicción en cualquier caso.El algoritmo para decidir si L(M) es vacío es: “Vea si algún string de longitud hasta N está en L(M)”.Es claro que este método tiene garantizado terminar. Para decidir si L(M) es infinito: “Vea si algún stringde largo entre N y 2N − 1 está en L(M)”. Nuevamente, hay un procedimiento que está garantizado determinar.Debe notarse que los algoritmos sugeridos por este teorema son tremendamente ineficientes. Sin embargo,se puede verificar si un AFD acepta el conjunto vacío al eliminar de su diagrama de transición todos losestados no alcanzables desde el estado inicial. Si aún queda uno o más estados finales, el lenguaje es no vacío.Luego, sin cambiar el lenguaje aceptado, es posible eliminar todos los estados que no son finales y desde loscuales no se puede llegar a un estado final. El AFD acepta un lenguaje infinito si y sólo si el diagrama queresulta tiene un ciclo. El mismo método se puede usar para un AFND, pero hay que verificar que haya unciclo con etiqueta distinta de ε.Ahora se mostrará que hay un algoritmo para determinar si dos AF aceptan el mismo lenguaje.Teorema 16 Existe un algoritmo para determinar si dos autómatas finitos aceptan el mismo lenguaje (esdecir, son equivalentes).Demostración : Sean M 1 y M 2 dos AF que aceptan los lenguajes L 1 y L 2 respectivamente. Por los teoremasanteriores, (L 1 ∩ L 2 ) ∪ (L 1 ∩ L 2 ) es aceptado por un AF, M 3 . Es fácil ver que M 3 acepta un string si y sólosi L 1 ≠ L 2 . Por lo tanto, por el teorema anterior, existe un algoritmo que determina si L 1 = L 2 .✷✷