Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

Chapter 9INDECIDIBILIDAD9.1 ProblemasInformalmente se usa la palabra problema para referirse a preguntas tales como: ¿Es una gramática libre decontexto dada, ambigua? En el caso del problema anterior, de la ambiguedad, una instancia del problemaes una gramática en particular. En general, una instancia de un problema es una lista de argumentos, unargumento por cada parámetro del problema. Restringiendo la atención sólo a problemas cuya respuesta seaSI o NO y codificando instancias del problema por strings sobre un alfabeto finito, es posible transformarla pregunta de si existe un algoritmo para un problema, a saber si un lenguaje en particular es recursivo.Debe notarse que al considerar sólo problemas con respuesta SI o NO, no se está dejando de lado muchosproblemas importantes, ya que muchos tienen versiones en SI o NO que son, demostrablemente, tan difícilescomo el “problema general”.Considérese el problema de la ambiguedad de las gramáticas libres de contexto. Denomínese AMB ala versión SI o NO. Una versión más general del problema, llamada encuentre, requiere producir un stringcon 2 ó más árboles de derivación, si existe, o responder “NO”, si no existe. Un algoritmo para encuentrepuede usarse para resolver AMB. Si encuentre produce un string w, se responde SI ; si encuentre respondeNO, se responde NO. Por otro lado, dado un algoritmo para AMB, se puede producir un algoritmo paraencuentre. El algoritmo primero aplica AMB a la gramática. Si AMB responde NO, se responde NO. SiAMB responde SI , el algoritmo comienza a generar sistemáticamente todos los strings sobre el alfabeto deG. Tan pronto como se genera un string w, se ve si tiene dos o más árboles de derivación. Nótese que elalgoritmo empieza a generar strings sólo si G es ambigua, por lo tanto eventualmente encontrará el stringdeseado y lo escribirá. Por lo tanto, en realidad se tiene un algoritmo. La parte del algoritmo que chequeasi w tiene 2 ó más árboles de derivación se deja como ejercicio.El proceso por el cual se construye un algoritmo para un problema (como encuentre), usando un supuestoalgoritmo para otro (AMB), es llamado una reducción (de encuentre a AMB). En general, cuando un problemaA se reduce a un problema B, se está mostrando que B es al menos tan “difícil” como A. Por lo tantoen este caso, como en muchos otros, el problema SI o NO AMB no es más sencillo (fácil) que la versión másgeneral del problema. Posteriormente se verá que no hay algoritmo para AMB. Por la reducción de AMBa encuentre, se concluye que tampoco hay un algoritmo para encuentre, ya que su existencia implicaría laexistencia de un algoritmo para AMB, una contradicción.Un punto instructivo adicional concierne a la codificación de la gramática G. Como todas las MT tienenun alfabeto fijo, no se puede considerar la notación de cuádrupla G = (V, T, P, S) como la codificación deG sin modificarla. Pero es posible codificar cuádruplas como strings binarios. Los metasímbolos (, ), {,}, , , → se codifican como 1, 10, 100, . . . , 10 5 , respectivamente. El i-ésimo símbolo de la gramática (encualquier orden elegido), se codifica como 10 i+5 . Con esta codificación no se distinguen los terminales ni losno-terminales. Por supuesto que renombrar los no-terminales no afecta el lenguaje generado, por lo que sussímbolos no son importantes. Aún cuando se piensa que la identidad de los terminales es importante, para139