Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

26 CHAPTER 2. LENGUAJES FORMALESque todos ellos estén en cada palabra, ni que cada símbolo que aparezca lo haga una sola vez. En lugar deescribir la secuencia como una lista de símbolos separados por comas y encerrada entre paréntesis, como seacostumbra escribir en otras secuencias en matemática, simplemente se escribirán los símbolos yuxtapuestos.Ejemplo 20clase es una palabra sobre el alfabeto romano.01101 es una palabra sobre el alfabeto binario.$105.0 es una palabra sobre el alfabeto {0, 1, 5, ., $}.Utilizando el isomorfismo natural que existe entre los símbolos de un alfabeto y las palabras sobre esealfabeto que están compuestas por un único símbolo, se acostumbra identificar esas palabras con el símboloque las forma. Por lo tanto, se considera que, por ejemplo, el símbolo a es lo mismo que la palabra a.Una palabra puede no tener símbolos. En ese caso se le conoce como palabra vacía o palabra nula, y se larepresenta por ε. Debe quedar claro que ε no es un símbolo, sino que es el nombre de una palabra. Lo quesucede es que esa palabra, la palabra vacía, consta de ningún símbolo y, por lo tanto, no se puede representarpor la secuencia de los símbolos que la componen, requiriéndose el uso de un nombre para referirse a ella.En general se usarán letras, como U, V, W, X, Y y Z, o sus minúsculas, y algunas letras griegas para denotarpalabras es decir, como nombres para ellas. Es obvio que por claridad y para evitar confusiones, no esconveniente utilizar ε o cualquier otro caracter usado como nombre de una palabra, como un símbolo delalfabeto. Formalmente, una palabra sobre un alfabeto Σ cualquiera, se define inductivamente a través de lassiguientes reglas:• ε es una palabra sobre Σ.• Si x es una palabra sobre Σ y a es un símbolo en Σ, ax es una palabra sobre Σ.La primera regla asegura que que la palabra vacía es una palabra sobre el alfabeto Σ. La segunda reglaindica como construir una palabra a partir de otra, basta anteponer cualquier símbolo del alfabeto a lossímbolos de la palabra original. Una definición alternativa es suponer que las palabras crecen hacia el ladoderecho. Es interesante destacar que ε es una palabra sobre cualquier alfabeto; en realidad, es la únicapalabra que se puede construir a partir de los símbolos de cualquier alfabeto.2.2.1 Longitud de una PalabraTal como en el caso de los números naturales o, como se vio anteriormente, en el caso de los conjuntos, haytambién varias funciones, operaciones y relaciones interesantes de estudiar en las palabras. En este punto ylos siguientes, se verán algunas de ellas. Una de las cosas que interesa conocer es el largo de una palabra.Para ello se define la longitud de una palabra x, usualmente denotada por |x|, como el número de símbolosque componen la palabra. Esta es una función que asigna a cada palabra un número natural. La palabravacía, al no tener ningún símbolo, tiene longitud cero; es la única palabra, cualquiera sea el alfabeto, conlongitud cero.Ejemplo 21 Considere, por ejemplo, las siguientes palabras|clase| = 5|101| = 3|ε| = 0Formalmente, la función longitud puede definirse inductivamente empleando las dos reglas siguientes:• |ε| = 0✷✷