Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

100 CHAPTER 5.ACEPTACIÓN Y GENERACIÓN DE LENGUAJES LIBRES DE CONTEXTOiSupóngase ahora que [q, A, p] ⇒ X, se muestra, por inducción en i, que (q, X, A) ⊢(p, ∗ ε, ε). La base, i = 1,es inmediata ya que [q, A, p] → X debe ser una producción de G y por lo tanto δ(q, X, A) debe contener(p, ε). Nótese que X es ε o está en Σ.Para la inducción suponga[q, A, p] ⇒ a [q 1 , B 1 , q 2 ] . . . [q N , B N , q N+1 ] i−1⇒ Xen que q N+1 = p. Se puede escribir X = aX 1 X 2 . . . X N en que [q j , B j , q j+1 ] ∗ ⇒X j , (1 ≤ j ≤ N), y con cadaderivación en menos de i-pasos. Por la hipótesis de inducción(q j , X j , B j ) ∗ ⊢(q j+1 , ε, ε) (1 ≤ j ≤ n)Si se inserta B j+1 . . . B N al fondo del stack en la secuencia anterior de DI’s, se ve que(q, X, A) ⊢ (q 1 , X 1 X 2 . . . X N , B 1 B 2 . . . B N )es una movida de M y, por lo tanto, usando la anterior para j = 1, 2, . . . , N, se tiene que(q, X, A) ∗ ⊢(p, ε, ε)La demostración concluye con la observación de que si q = q 0 y A = Z 0 , se ha probado que[q 0 , Z 0 , p] ∗ ⇒X ssi (q 0 , X, Z 0 ) ∗ ⊢(p, ε, ε)Esta observación, junto con la primera regla para construir G, dicen queS ∗ ⇒X ssi (q 0 , X, Z 0 ) ∗ ⊢(p, ε, ε)para algún estado p. Es decir, X ∈ L(G) ssi X ∈ N(M)Ejemplo 77 Sea M = ({q 0 , q 1 }, {0, 1}, {X, Z 0 }, δ, q 0 , Z 0 , ∅) con δ dada porδ(q 0 , 0, Z 0 ) = {(q 0 , XZ 0 )}δ(q 0 , 0, X) = {(q 0 , XX)}δ(q 0 , 1, X) = {(q 1 , ε)}δ(q 1 , 1, X) = {(q 1 , ε)}δ(q 1 , ε, X) = {(q 1 , ε)}δ(q 1 , ε, Z 0 ) = {(q 1 , ε)}Para construir una gramática libre de contexto, G = (V, T, P, S), que genere N(M), seaV = {S, [q 0 , X, q 0 ] , [q 0 , X, q 1 ] , [q 1 , X, q 0 ] , [q 1 , X, q 1 ] ,[q 0 , Z 0 , q 0 ] , [q 0 , Z 0 , q 1 ] , [q 1 , Z 0 , q 0 ] , [q 1 , Z 0 , q 1 ]}y Γ = {0, 1}.Para construir el conjunto de producciones con facilidad, es útil darse cuenta que algunas variables puedenno aparecer en derivaciones que comienzan con S. Se puede ahorrar algo de esfuerzo si se comienza con lasproducciones-S y se agregan aquellas para variables que aparecen en el lado derecho de alguna ya incluidaen P .Las producciones para S sonS → [q 0 , Z 0 , q 0 ]S → [q 0 , Z 0 , q 1 ]✷