Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

10 CHAPTER 1.MATEMÁTICAS BÁSICASEjemplo 1 El conjunto de los número enteros pares se puede definir utilizando el siguiente constructor deconjuntos:{i/i es un entero y existe un entero j tal que i = 2j}Si cada elemento de un conjunto A es también miembro de un conjunto B, se dice que A es un subconjuntode B (A ⊆ B), o que B incluye a A (B ⊇ A). De acuerdo con esto, todo conjunto es un subconjunto de símismo. Si A es un subconjunto de B, pero es distinto de B, entonces A es un subconjunto propio de B, yse denota por A ⊂ B. También se dice que dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen ningún elementoen común.1.1.1 Operaciones con ConjuntosVarias operaciones permiten combinar dos conjuntos para formar un tercer conjunto, tal como los númerosse pueden combinar con las operaciones aritméticas para obtener otro. Las operaciones más usuales entreconjuntos son las siguientes:1. La unión de A y B:A ∪ B = {x/x ∈ A o x ∈ B}2. La intersección de A y B:A ∩ B = {x/x ∈ A y x ∈ B}3. La diferencia de A y B:A − B = {x ∈ A y x ∉ B}4. El producto cartesiano de A y B:A × B = {(x, y)/x ∈ A e y ∈ B}5. El conjunto potencia de A:2 A = {S/S ⊆ A}Ejemplo 2 Sea A el conjunto {a, b} y sea B el conjunto {b, c}, entonces las operaciones antes definidasproducen los siguientes conjuntos:A ∪ B = {a, b, c}A ∩ B = {b}A − B = {a}A × B = {(a, b), (a, c), (b, b), (b, c)}2 A = {∅, {a}, {b}, {a, b}}Es interesante notar que si A y B son conjuntos finitos que tienen n y m miembros respectivamente,A ∪ B tiene a lo más n + m elementos, A ∩ B tiene a lo más el mínimo entre n y m elementos y A − B tienea lo más n elementos; pero, en general, el número de elementos de estos conjuntos puede ser menor, comose aprecia en el Ejemplo 2. Sin embargo, A × B tiene exactamente n ∗ m elementos y 2 A tiene exactamente2 n elementos, sin importar cuáles sean los conjuntos originales.✷✷