Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

122ACEPTACIÓN Y GENERACIÓN DE L. ENUMERABLES RECURSIVAMENTE Y RECURSIVOSY también es útil cuando deben compararse longitudes de algunos substrings, tales como en los lenguajes{a i b i /i ≥ 1}, {a i b j c k /i ≠ j o j ≠ k}Para ello se usa una segunda pista en la cinta, la que sólo contiene un blanco o un √ (visto). El símbolo√ aparece bajo uno de la primera pista, que ya ha sido considerado por la MT en una de las comparaciones.7.3.4 Correr SímbolosUna máquina de Turing puede hacer espacio en su cinta al mover todos los símbolos no blancos un númerofinito de celdas hacia la derecha. Para ello, la cabeza se mueve hacia la derecha almacenando repetidamentelos símbolos leídos en celdas de más a la izquierda. La MT puede entonces volver a las celdas vaciadas yescribir los símbolos que desee. Si hay espacio disponible, también es posible empujar grupos de símboloshacia la izquierda de manera similar.7.3.5 SubrutinasTal como sucede con programas, un diseño modular o “top-down” se facilita al usar subrutinas que definenprocesos elementales. Una máquina de Turing puede simular cualquier tipo de subrutinas encontradas enlenguajes de programación, incluso procedimientos recursivos y cualquiera de los métodos conocidos parapasar parámetros. Aquí sólo se describirá el uso de subrutinas sin parámetros y no recursivas, pero aún éstasson bastante poderosas.La idea general es escribir una parte de una MT que sirva como subrutina; ella tendrá un estado inicial yuno de regreso que momentáneamente no tendrá movidas y que se usará para efectuar el regreso a la rutinaque la llamó. Para designar una MT que “llama” a la subrutina, un conjunto nuevo de estados para lasubrutina se llama y se especifica una movida para el estado de regreso. La llamada se efectúa entrando alestado inicial de la subrutina y el regreso, por la movida definida para el estado de regreso.7.4 Lenguajes y Funciones ComputablesUn lenguaje aceptado por una máquina de Turing se llama enumerable recursivamente (recursively enumerableo r.e., en inglés). El término enumerable deriva del hecho que son precisamente estos lenguajescuyos strings pueden ser enumerados (listados) por una máquina de Turing. Recursivamente, es un términomatemático previo a la existencia de los computadores y su significado es similar a lo que se llama recursiónen ciencia de la computación. La clase de los lenguajes enumerables recursivamente es muy amplia e incluyecon propiedad a la clase de los lenguajes libres de contexto.La clase de los lenguajes enumerables recursivamente incluye algunos lenguajes para los que no se puededeterminar pertenencia en forma mecánica. Si L(M) es uno de esos lenguajes, entonces cualquier máquinade Turing que reconozca L(M) debe no detenerse en algunos strings que no pertenecen al lenguaje. Siw ∈ L(M), M se detendrá eventualmente en input w. Sin embargo, mientras M esté ejecutando en algúninput, no es posible saber si parará y aceptará si se la deja ejecutar lo suficiente, o si M no se detendránunca y correrá para siempre.Es conveniente singularizar un subconjunto de los conjuntos enumerables recursivamente, llamados losconjuntos recursivos, que son aquellos lenguajes aceptados por al menos una máquina de Turing que sedetiene en todos sus inputs, ya sea aceptando o no. Posteriormente se verá que los conjuntos recursivosson una subclase propia de los conjuntos enumerables recursivamente. Nótese también que por el algoritmoCYK, todo lenguaje libre de contexto es un conjunto recursivo.Además de ser un dispositivo de aceptación, la máquina de Turing puede verse como un computador defunciones de enteros a enteros. La forma tradicional es representar los enteros en unario; es decir, i ≥ 0 serepresenta por el string 0 i . Si una función tiene k argumentos, i 1 , i 2 , . . . , i k , entonces estos enteros se poneninicialmente en la cinta separados por 1’s, como: 0 i1 10 i2 1 . . . 10 i k.