Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

42 CHAPTER 3.ACEPTACIÓN Y GENERACIÓN DE LENGUAJES REGULARESy la función de transición δ:Q \ Σ a b0 {0} {0, 1}1 ∅ {2}2 ∅ {3}3 {3} {3}Dos autómatas finitos M 1 y M 2 se dicen equivalentes si y sólo si ellos aceptan el mismo lenguaje, es decir,si y sólo siL(M 1 ) = L(M 2 )no importa qué método usen para reconocer el lenguaje, son equivalentes si aceptan el mismo lenguaje.Ejemplo 40 El AFD de la Figura 3.8 es equivalente al AFND del Ejemplo 39.✗ ✔✗ ✔aa, b✓✏ ✓✏ ✓✏✛✘✲ ✂ ✛✆✂✓✏b ✛✆✲ b ✲ b0 1 2 ✲ 3✒✑ ✒✑ ✒✑✻✚✚✙✒✑a✙a✫✪Figure 3.8: AFD que acepta strings con tres b’s consecutivas✷Como todo AFD es un AFND, es claro que la clase de lenguajes aceptados por los AFND incluye alos lenguajes regulares (aceptados por los AFD). Pero hay más, sucede que estos son los únicos lenguajesaceptados por los AFND. La prueba se basa en mostrar que los AFD pueden simular a los AFND; ésto es,por cada AFND es posible construir un AFD equivalente.La forma de simular un AFND con un AFD es permitir que los estados del AFD correspondan a conjuntosde estados del AFND, de manera que el AFD pueda almacenar en su control finito todos aquellos estadosen que el AFND podría estar, habiendo leído el mismo prefijo del input. La construcción formal se incluyeen la demostración del siguiente teorema:Teorema 1 Sea L un lenguaje aceptado por un autómata finito no determinístico. Existe un autómata finitodeterminístico que acepta L.Demostración : Sea M = (Q, Σ, δ, q 0 , F ) el AFND que acepta L. Defina un autómata finito determinísticoM ′ = (Q ′ , Σ, δ ′ , q 0 ′ , F ′ ) como sigue: Los estados de M ′ son todos los subconjuntos del conjunto de estadosde M, es decir, Q ′ = 2 Q . M ′ tendrá en sus estados la información de todos los estados en que M podríaestar. F ′ es el conjunto de todos los estados en Q ′ que contienen al menos un estado final de M. Un estadoen Q ′ se denotará por [q 1 , q 2 , . . . , q i ] en que {q 1 , q 2 , . . . , q i } ∈ Q. Nótese que [q 1 , q 2 , . . . , q i ] es un solo estadodel AFD M ′ , sólo que su nombre es compuesto. También se tiene que q 0 ′ = [q 0 ]. Y se definesi y sólo siδ ′ ([q 1 , q 2 , . . . , q i ] , a) = [p 1 , p 2 , . . . , p j ]δ([q 1 , q 2 , . . . , q i ] , a) = {p 1 , p 2 , . . . , p j }.✷